Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения — это уравнения, которые содержат иррациональные выражения. 

В школьном курсе математики рассматриваются рациональные уравнения, которые содержат корни различных степеней.

Решение иррациональных уравнений сводиться к рациональным. Более того, хочется сказать, что все уравнения сводятся к элементарным с помощью различного рода преобразований или хитростей.

Во время решения иррациональных уравнений важно помнить:

1. Выражения, стоящие под корнем четной степени, никогда не могут получиться отрицательными. Поэтому некоторые уравнения можно даже не решать. Например:

В данном уравнении нет смысла, при любых значениях переменной, равенство верным быть не может, поскольку правая часть уравнения не может быть отрицательной.

2. Первым делом при решении уравнений, которые имеют корни четной степени, необходимо определить ОДЗ. Область определения — это диапазон, в который могут входить корни уравнения. Если корни в него не входят, то они не удовлетворяют условию, и считаются посторонними.

3. Чтобы быть уверенными, что корни найдены правильно, необходимо совершить проверку, подставив их в исходное уравнение.

Способы решения уравнений, содержащих иррациональность:

1. Возведение правой и левой части уравнения в степень корня. Этот способ позволяет избавиться от иррациональности. Но прежде, чем откинуть корень, проверьте ОДЗ.

2. Если в одной из частей уравнения находится сумма или разность корней, то оптимальным вариантом является изолирование их с помощью знака равно. После этого пользуемся предыдущим правилом до тех пор, пока не избавимся от иррациональности.

3. Если Вы имеете уравнение вида:

То для его решения необходимо найти наименьшее общее кратное степеней корня и возвести обе части уравнения в эту степень. Таким образом, Вы избавитесь от иррациональности.

Рациональные уравнения

Перед тем, как приступить к изучению рациональных уравнений, хотелось бы напомнить, что такое рациональные выражения, а также формулы, позволяющие раскладывать многочлены на множители. Именно разложение на множители рациональных выражений чаще всего позволяет облегчить задачу нахождения корней уравнения.

Рациональное выражение состоит из слагаемых, которые можно представить в виде конечной обыкновенной или десятичной дроби.

Для решения уравнений, состоящих из рациональных выражений, их необходимо упростить, разложив на множители, или привести к известному виду.

Все уравнения, которые не содержат корней или других иррациональных выражений, называются рациональными. Например, уравнение вида:

2(х + 6) = х,

2(х + 6) = х2,

2(х + 6) = 1/х.

Рациональные уравнения делятся на целые рациональные и дробные.

Целые рациональные уравнения содержат выражения, которые не имеют корней в знаменателе.

Если же переменная содержится в знаменателе, то такое уравнение называется дробным.

Целое рациональное уравнение:

Областью допустимых значений для такого уравнения будут считаться все значения из действительного множества чисел.

Дробное рациональное уравнение:

При решении такого уравнения необходимо учитывать ОДЗ, поскольку знаменатель не может быть равен нулю.

Способы решения уравнений

1. Если вы смогли разложить уравнение на множители, которые равны нулю, то Вы имеете право каждый множитель приравнять нулю, после чего следует найти корни в каждой скобке.

2. Замена переменной. Если уравнение содержит несколько повторяющихся одинаковых объемных или неудобных выражений, то их можно заменить одной переменной, имеющей другое название. После этого уравнение решается с новой переменной, после чего её значение подставляется под замену.

Например, если уравнение содержит иррациональные выражения, то можно привести к рациональному виду с помощью замены:

Квадратные уравнения

Уравнение

Уравнение — это некое равенство, в выражениях которого имеется переменная. 

Решить уравнение — значит найти такое число вместо переменной, которое будет приводить его в верное равенство.

Уравнение может иметь одно решение или несколько, или же не иметь его вообще.

Для решения любого уравнения его следует максимально упростить до вида:

— линейное: a*x = b;

— квадратное: a*x2 + b*x + c = 0.

То есть любые уравнение перед решением нужно преобразовать до стандартного вида.

Любое уравнение можно решить двумя способами: аналитическим и графическим.

На графике решением уравнения считаются точки, в которых график пересекает ось ОХ.

Квадратные уравнения

Уравнение можно назвать квадратным, если при упрощении оно приобретает вид: 

a*x2 + b*x + c = 0.

При этом a, b, c являются коэффициентами уравнения, отличающиеся от нуля. А «х» — корень уравнения. Считается, что квадратное уравнение имеет два корня или могут не иметь решения вообще. Полученные корни могут быть одинаковыми.

«а» — коэффициент, который стоит перед корнем в квадрате.

«b» — стоит перед неизвестной в первой степени.

«с» — свободный член уравнения.

Если, например, мы имеем уравнение вида:

2х2-5х+3=0

В нем «2» — это коэффициент при старшем члене уравнения, «-5» — второй коэффициент, а «3» — свободный член.

Решение квадратного уравнения

Существует огромное множество способов решения квадратного уравнения. Однако, в школьном курсе математики изучается решение по теореме Виета, а также с помощью дискриминанта.

Решение по дискриминанту:

При решении с помощью данного метода необходимо вычислить дискриминант по формуле:

Если при вычислениях Вы получили, что дискриминант меньше нуля, это значит, что данное уравнение не имеет решений.

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет два одинаковых решения. В таком случае многочлен можно свернуть по формуле сокращенного умножения в квадрат суммы или разности. После чего решить его, как линейное уравнение. Или воспользоваться формулой:

Если же дискриминант больше нуля, то необходимо воспользоваться следующим методом:

Теорема Виета

Если уравнение приведенное, то есть коэффициент при старшем члене равен единице, то можно воспользоваться теоремой Виета.

Итак, предположим, что уравнение имеет вид:

Корни уравнения находятся следующим образом:

Неполное квадратное уравнение

Существует несколько вариантов получения неполного квадратного уравнения, вид которых зависит от наличия коэффициентов.

1. Если второй и третий коэффициент равен нулю (b = 0, с = 0), то квадратное уравнение будет иметь вид:

Данное уравнение будет иметь единственное решение. Равенство будет верным только в том случае, когда в качестве решения уравнения будет ноль.

2. Если второй коэффициент равен нулю (b = 0), то уравнение будет иметь следующий вид:

Для решения данного уравнения необходимо освободить корень от коэффициентов, в результате чего уравнение будет иметь следующий вид:

3. Если же свободный член равен нулю, то уравнение имеет следующий вид:

Для его решения необходимо вынести общий множитель за скобку. В результате этого мы имеем право каждый множитель приравнять к нулю. Это значит, что один корень всегда будет равен нулю, а второй вычисляется, как линейное уравнение по правилам нахождения неизвестного слагаемого.

Модуль (абсолютная величина) числа

Модуль числа — это величина, которая не может быть отрицательной. 

Например, если в условии задачи Вам не важно, какое число больше, а какое меньше, а лишь важно, какая разница между ними, то вы находите именно модуль. Если рассматривать числовую прямую, то модуль — это расстояние между двумя точками. Например, расстояние между точкой 0 и точкой -10 равно десяти, то есть числу не отрицательному.

Для модуля справедливо следующее соотношение:

Например, если у вас есть выражения:

В первом случае мы опускаем модуль без каких-либо изменений, поскольку величина, получившаяся под его знаком, всегда будет положительной. Во втором случае в соотношение вносится знак минус, который меняет слагаемые местами.

Основные свойства модулей:

Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Если некоторое выражение, которое необходимо упростить, содержит в себе логарифм, то можно следовать некоторым основным советам:

1. Если выражение, которое нужно упростить, содержит логарифм с десятичной дробью, то самым оптимальным вариантом является перевод десятичной дроби в обыкновенную.

2. Если в логарифмированном выражении содержится смешанная дробь, то её следует перевести в неправильную. Это позволит увидеть аналогии между функциями, содержащимися в выражении.

3. Увидеть формулы и сокращения позволит разложение всех чисел на множители.

4. Практически все задания на упрощение выражений с логарифмами приводятся к приведению к одному основанию.

5. Когда все вышеперечисленные советы выполнены, необходимо воспользоваться свойствами для логарифмов.

Напомним, что логарифмирование и возведение в степень — это две взаимообратные операции, поэтому их свойства аналогичные и вытекают друг из друга. Вот основные свойства логарифмов:

Если Вам необходимо привести все логарифмы, имеющие разные основания, к одному, то необходимо воспользоваться следующими формулами:

Синус, косинус, тангенс и котангенс числа

Итак, напоминаем, что при рассмотрении тригонометрических функций мы рассматриваем окружность, которая имеет единичный радиус. Данное упрощение используется для удобства. Все отношения справедливы для произвольных окружностей, с произвольным радиусом.

Пример. Давайте построим точки на единичной окружности, которые будут соответствовать повороту радиус-вектора на угол  

Решение. За начало отсчета принимаем точку Р0. Угол, равный нулю радиан совпадает с данной точкой.

Мы знаем, что граничными считаются углы 0, π/2, π, 3π/2, 2π. Если использовать угол π/2 и разделить первую четверть на 3 равных части, то первое от начала отсчета разделение будет соответствовать углу π/6. На графике данная точка имеет место Рπ/6.

Чтобы получить угол π/4, необходимо прямой угол разделить на две части. Если необходимо отметить угол с отрицательным аргументом, необходимо пойти по часовой стрелке от начальной точки. Например, точка — π/4 будет находиться симметрично относительно оси ОХ в 4 четверти.

Давайте теперь вспомним, каким образом исчисляются углы, выраженные в радианной мере. Чему, например, соответствует в радианах π/4? Чтобы это узнать, следует числовое значение числа π разделить на 4.

3,14 : 4 = 0,78, если углу π/2 соответствует 3,14 : 2 = 1,57. Следовательно, на окружности угол, равный единице будет лежать выше π/4, но ниже π/2. Отрицательное значение угла симметрично положительному относительно оси ОХ.

Таким же образом следует найти и местонахождение угла, равного 2. Так как граничному прямому углу соответствует значение 1,57, то угол, равный двум, будет находиться во второй четверти.

Можно убедиться, что каждому числу соответствует своя ордината и абсцисса на плоскости.

Отсюда можно сделать вывод, что: 

Синус некоторого числа — это значение ординаты на плоскости, которая соответствует точке этого числа на единичной окружности.

Косинус некоторого числа — это значение абсциссы на плоскости, которая соответствует точке этого числа на единичной окружности.

Тангенс некоторого числа — это значение, полученное в результате отношения синуса к косинусу, иначе говоря, отношение ординаты к абсциссе.

Котангенс некоторого числа — это значение, полученное в результате отношения косинуса к синусу, иначе говоря, отношение абсциссы к ординате.

Синус и косинус имеют период, равный 6,28. Тангенс и котангенс имеет период, равный 3,14.

Радианная мера угла

Радианной мерой произвольного угла в единичной окружности является отношение длины дуги центрального угла к радиусу окружности. 

Данное определение применимо к окружностям с произвольной длиной радиуса.

Радианная мера связана с градусной мерой простым соотношением:

При этом для получения величины 1 рад, следует 180 градусов разделить на значение числа π.

Например, давайте получим радианную меру угла в 30 градусов:

2 * π * 30 : 360 = π/6 ≈ 0,52.

Существуют таблицы, которые позволяют без расчетов определить радианную меру основных углов:

Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла

Синус, косинус произвольного угла

Чтобы понять, что такое тригонометрические функции, обратимся к окружности с единичным радиусом. Данная окружность имеет центр в начале координат на координатной плоскости. Для определения заданных функций будем использовать радиус-вектор ОР, который начинается в центре окружности, а точка Р является точкой окружности. Данный радиус-вектор образует угол альфа с осью ОХ. Так как окружность имеет радиус, равный единице, то ОР = R = 1.

Если с точки Р опустить перпендикуляр на ось ОХ, то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.

Если радиус-вектор двигается по часовой стрелке, то данное направление называется отрицательным, если же он двигается против движения часовой стрелки — положительным.

Синусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР, является ордината точки Р вектора на окружности. 

То есть, для получения значения синуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой У на плоскости.

Как данное значение было получено? Так как мы знаем, что синус произвольного угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, получим, что

А так как R = 1, то sin(α) = y0.

В единичной окружности значение ординаты не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

Синус принимает положительное значение в первой и второй четверти единичной окружности, а в третьей и четвертой — отрицательное.

Косинусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР, является абсцисса точки Р вектора на окружности.

То есть, для получения значения косинуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой Х на плоскости.

Косинус произвольного угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, получим, что

А так как R = 1, то cos(α) = x0.

В единичной окружности значение абсциссы не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

Косинус принимает положительное значение в первой и четвертой четверти единичной окружности, а во второй и в третьей — отрицательное.

Тангенсом произвольного угла считается отношение синуса к косинусу. 

Если рассматривать прямоугольный треугольник, то это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если же речь идет о единичной окружности, то это отношение ординаты к абсциссе.

Судя по данным отношениям, можно понять, что тангенс не может существовать, если значение абсциссы равно нулю, то есть при угле в 90 градусов. Все остальные значения тангенс принимать может.

Тангенс имеет положительное значение в первой и третьей четверти единичной окружности, а во второй и четвертой является отрицательным.

Котангенсом произвольного угла называется отношение косинуса к синусу.

Рассматривая прямоугольный треугольник — отношение прилежащего катета к противолежащему, то есть абсциссы к ординате.

Так как ордината находится в знаменателе дроби, то котангенс не может существовать при угле альфа, равном нулю градусов.

Котангенс принимает те же значения в четвертях единичной окружности, что и тангенс.

Все перечисленные функции являются периодичными. Косинус и синус имеют период 360 градусов, то есть 2Пи, а тангенс и котангенс 180 градусов, то есть Пи.

Свойства степени с действительным показателем

Действительные числа — это все числа огромного множества, которые окружают нас вокруг.

При рассмотрении степеней с действительным показателем в показателе может быть абсолютно любое значение, а, значит, при работе с такими степенями следует использовать следующие свойства.

Свойства степени с действительным показателем

Если в основании степени лежит положительное число, а в качестве показателя используются действительные числа, то можно пользоваться следующими формулами:

1. Так как в основании степени используется положительное число, то, несмотря на знак показателя степени, результат всегда будет числом положительным.

2. Если показатель степени является отрицательным числом, то его можно заменить на равный по модулю положительный показатель, а основание дроби перевернуть.

3. При умножении чисел с одинаковыми основаниями, действительные показатели степени следует сложить.

4. При делении чисел с одинаковыми основаниями, действительные показатели степени вычитаются:

5. При возведении числа в степени в дополнительную степень показатели умножаются.

6. При возведении произведения некоторых чисел в действительную степень можно возвести каждое число по отдельности в данную степень и только после этого перемножить.

7. При возведении частного некоторых чисел в действительную степень можно возвести каждое число по отдельности в данную дробь и только после этого разделить.

Степень с рациональным показателем и её свойства

Степень с рациональным показателем — это та, в показателе которой находится конечная обыкновенная или десятичная дробь.

Любую степень с рациональным показателем можно представить в виде корня, чья степень будет равна знаменателю дроби, находящейся в показателе степени, а числитель будет степенью подкоренного выражения.

Свойства степени с рациональным показателем

Все, перечисленные ниже степени используются для рациональных чисел p, q и для положительных a, b.

1. Если Вам необходимо умножить две степени с рациональными показателями, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.

ap * aq = ap+q.

2. Если необходимо разделить две степени c рациональными показателями, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть.

ap / aq = ap-q .

Например,

3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.

(ap )q = ap*q

Например,

4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.

(a * b)p = ap * bp

5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.

(a / b)p = ap / bq

6. Если некоторая дробь имеет отрицательный рациональный показатель степени, то для избавления от знака минуса, её следует перевернуть.

Например,

Очень важно помнить, что знак степени не влияет на знак выражения при возведении в степень.