Эйнштейн-School
Задание №6. Производная. Поведение функции. Первообразная — профильный ЕГЭ по Математике

Задание 6 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции f\left ( x \right ) в точке x_0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

\boldsymbol{f

  1. На рисунке изображён график функции y\ =\ f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0 .

Производная функции f(x) в точке x_0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке x_0.

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

f

Ответ: 0,25.

  1. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0.
    Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x_0.

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке x_0 функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке x_0 образует тупой угол \alpha с положительным направлением оси X. Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла \varphi , смежного с углом \alpha.

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg \varphi = 0, 25. Поскольку \alpha + \varphi = 180^{\circ}, имеем:

tg \alpha = tg(180^{\circ} -\varphi ) = — tg \varphi = -0, 25.

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

  1. Прямая y\ =\ -\ 4x\ -\ 11 является касательной к графику функции y\ =\ x^3 +\ 7x^2 +\ 7x\ -\ 6.

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции y=f\left(x\right)\ и прямой y=kx+b в точке x_0 .

При x= x_0 значения выражений f\left(x\right)\ и kx+b равны.

При этом производная функции f\left(x\right)\ равна угловому коэффициенту касательной, то есть k.

\left{ \begin{array}{c}f\left(x\right)=kx+b \f^{

\left{ \begin{array}{c}x^3+{7x}^2+7x-6=-4x-11 \{3x}^2+14x+7=-4 \end{array}\right.

Из второго уравнения находим x =\ -1 или x=-\frac{11}{3}. Первому уравнению удовлетворяет только x = -1.

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

  1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t^2 — 3t — 29, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета: x\left(t\right)=t^2-3t-29.

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

v\left(t\right)=x В момент времени t=3 получим:

v\left(3\right)=2\cdot 3-3=3.

Ответ: 3

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если f, то функция f (x) возрастает.

Если f, то функция f (x) убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

f(x) возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
f + 0 — 0 +

  1. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Производная функции f { в точках максимума и минимума функции f(x). Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

  1. На рисунке изображён график y = f — производной функции f(x), определённой на интервале (-6; 5). В какой точке отрезка [-1; 3] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке [-1;3] производная функции f(x) положительна.

Значит, функция f(x) возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение f(x). Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

  1. На рисунке изображён график функции y= f(x), определённой на интервале (-3; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 1.

Прямая y=1 параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции y = f(x) точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

  1. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-6; 9].

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке [-6; 9] такая точка всего одна! Это x=7.

Ответ: 1.

  1. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 5). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [-5; 4].

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [- 5; 4] график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке x = -2. В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, x= -2 является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида y = F(x) + C образуют множество первообразных функции y = f(x).

  1. На рисунке изображён график y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-6; 6). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-4; 4] .

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x).

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку [-4; 4] , в которых производная функции F(x) равна нулю. Это точки максимума и минимума функции F(x). На отрезке [-4; 4] таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №5. Стереометрия

Задание 5 Профильного ЕГЭ по математике – это основы стереометрии. Это задачи на вычисление объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения.

Запоминаем один из главных лайфхаков решения задач по стереометрии:

Отношение объемов подобных тел  равно кубу коэффициента подобия.

Если все линейные размеры объемного тела увеличить в k раз, то его площадь увеличится в k^2 раз, а объем в k^3 раз.

S_2=k^2 \cdot S_1
V_2=k^3 \cdot V_1

И решаем задачи. У нас все получится!

1. Во сколько раз увеличатся площадь поверхности и объем куба, если его ребро увеличить в два раза?

Отношение площадей поверхности подобных тел равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия. При увеличении ребра в 2 раза площадь поверхности увеличится в 4 раза, а объем – в 8 раз.

2. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса меньший конус, все линейные размеры которого в 3 раза меньше, чем у большого. Поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Она равна 2.

3. Объем пирамиды равен 10. Через середину высоты параллельно основанию пирамиды проведено сечение, которое является основанием меньшей пирамиды с той же вершиной. Найдите объем меньшей пирамиды.

Меньшая пирамида подобна большой, коэффициент подобия k=\frac{1}{2}. Отношение объемов  подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Поэтому объем меньшей пирамиды в 8 раз меньше объема исходной пирамиды. Он равен  \frac{10}{8}=1,25.

4. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.

Площадь основания пирамиды ЕАВС в 2 раза меньше, чем у пирамиды ABCDS. Высота пирамиды ЕАВС равна половине высоты пирамиды ABCDS. Значит, объем пирамиды ЕАВС в 4 раза меньше объема пирамиды ABCDS. Он равен \frac{116}{4}=29.

5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка E – середина ребра AB, боковое ребро SC равно 4, длина отрезка SE равна \sqrt{10}.  Найти объем пирамиды SABCD .

Найдем сторону основания пирамиды. По теореме Пифагора, для треугольника  SAE получаем, что AE=\sqrt{6}. Соответственно, сторона основания пирамиды равна 2\sqrt{6}. Если обозначить центр основания за H, то высоту пирамиды  найдем по теореме Пифагора для треугольника SHE – она равна 2.

Применяя формулу для объема пирамиды V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot h, получаем ответ: 16.

Многие задания №8 Профильного ЕГЭ по математике можно считать подготовительными – для того, чтобы научиться решать задачу 14 из второй части ЕГЭ.

6. Стороны основания треугольной пирамиды равны 15, 16 и 17. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углами 45°. Найдите объем пирамиды.

Пусть точка О – проекция точки S на плоскость основания пирамиды. Прямоугольные треугольники АОS, ВОS, СОS равны (по общему катету ОS и острому углу). Значит, АО = ВО = СО. Точка О, равноудаленная от вершин основания, – это центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Тогда АО = ВО = СО = OS = R, где R – радиус этой окружности.

Радиус описанной окружности найдем по формуле

R=\frac{abc}{4S};

Площадь \triangle ABC найдем по формуле Герона:

S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, где p=\frac{15+16+17}{2}=24  – полупериметр.

S_{\triangle ABC}=\ \sqrt{24\cdot 9\cdot 8\cdot 7}=\sqrt{3\cdot 8\cdot 3\cdot 3\cdot 8\cdot 7}=24\sqrt{21};
R=\frac{15\cdot 16\cdot 17}{4\cdot 24\sqrt{21}}=\frac{5\cdot 17}{2\sqrt{21}};
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot OS=\frac{1}{3}\cdot 24\sqrt{21}\cdot \frac{5\cdot 17}{2\cdot \sqrt{21}}=\frac{5\cdot 17}{4}=\frac{85}{4}=21,25

Заметим, что если боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то вершина проецируется в центр основания.

7. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми  и   Ответ дайте в градусах.

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости. Поскольку CC_1 и AA_1 параллельны, найдем угол между CC_1 и BC_1. Он равен 45 градусов, так как грань   –  квадрат.

Ответ: 45.

ЕГЭ-2022 по математике базового уровня

Каждое из заданий 1–21 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Каждое верно выполненное задание оценивается 1 баллом.

Перевод баллов в оценку
0-6 → 2
7-11 → 3
12-16 → 4
17-21 → 5

Планиметрия

Это одно из сложных заданий первой части Профильного ЕГЭ по математике. Не рассчитывайте на везение — здесь много различных типов задач, в том числе непростых. Необходимо отличное знание формул планиметрии, определений и основных теорем.

Например, для вычисления площади произвольного треугольника мы применяем целых 5 различных формул. Cколько из них вы помните?

Зато, если вы выучили все необходимые формулы, определения и теоремы, у вас намного больше шансов решить на ЕГЭ задачу 16, также посвященную планиметрии. Многие задания под №3 являются схемами для решения более сложных геометрических задач.

Bесь необходимый теоретический материал собран в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Поэтому сразу перейдем к практике и рассмотрим основные типы заданий №3 Профильного ЕГЭ по математике.

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

1. B треугольнике ABC угол C равен 90^\circ, BC = 15, tgA=0,75Найдите AC.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Катет BC — противолежащий для угла A, катет AC— прилежащий. Получим:

AC=\frac{BC}{tgA}=\frac{15}{0,75}=20

Ответ: 20.

2. B треугольнике ABC угол C равен 90^\circ, \, tgA=\frac{9}{40}, \, AC=20Найдите AB.

По определению косинуса угла, cosA=\frac{AC}{AB},AB=\frac{AC}{{\cos A}}.

Найдем косинус угла A с помощью формулы:

{tg}^2\angle { A+1=}\frac{{ 1}}{{cos}^2\angle { A}}

Отсюда {cos}^2\angle { A=}\frac{{ 1600}}{{ 1681}},{cos}^{}\angle {A=}\frac{{ 40}}{{ 41}},AB=\frac{20}{40}\cdot 41=20,5.

Ответ: 20,5

Треугольники. Формулы площади треугольника.

3. B треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Bнешний угол при вершине B равен 122^\circ Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По условию, угол DBC — внешний угол при вершине B — равен 122^\circ. Тогда угол CBA равен 180^\circ -122^\circ =58^\circ. Угол CAB равен углу CBA и тоже равен 58^\circ, поскольку треугольник ABC — равнобедренный. Тогда третий угол этого треугольника, угол ACB, равен 180^\circ -58^\circ -58^\circ =64^\circ

4. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен  Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

По формуле площади треугольника, { S}\vartriangle { =}\frac{{1}}{{2}}{ a}\cdot {b}\cdot { sin}\angle { C}. Получим:

S=\frac{1}{2}\cdot 10^2 \cdot sin30^\circ=25 см2

Ответ: 25

Элементы треугольника: высоты, медианы, биссектрисы

5. B треугольнике ABC угол ACB равен 90^\circ , угол B равен 58^\circ, CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD — равнобедренный, CD=BD. Тогда

\angle DCB=\angle DBC=58^\circ.

Углы ACD и DCB в сумме дают 90^\circ. Отсюда

\angle ACD=90^\circ -\angle DCB=90^\circ -58^\circ =32^\circ.

6. B остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65^\circ. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O . Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

B треугольниках ACE и OCD угол C — общий, углы A и D равны 90^\circ. Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и \angle DOC = 65^\circ. Тогда угол DOE — смежный с углом DOC. Он равен 180^\circ -65^\circ =115^\circ.

7. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24^\circ и 66^\circ. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Медиана CM в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть AM=CM. Значит, треугольник ACM — равнобедренный, углы CAM и ACM равны.

Тогда

\angle MCH=\angle C-\angle ACM-\angle BCH{ =90^\circ -24^\circ -}\left({ 90^\circ -66^\circ }\right){=42^\circ }.

8. B треугольнике ABC угол A равен 60^\circ угол B равен 82^\circ. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Найдем третий угол треугольника ABC — угол C. Он равен 180^\circ -60^\circ -82^\circ =38^\circ.

Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть 30^\circ и 19^\circ.

Угол AOF — внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть 49^\circ.

9. B треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

По условию, треугольники ADC и ADB — равнобедренные.

Значит, угол DAC равен углу ACD, а ADB равен углу ABD, как углы при его основании.

Обозначим угол BAD за х.

Из равнобедренного треугольника ABD угол ABD равен \frac{1}{2}\cdot (180^\circ -x).

C другой стороны, этот угол равен углу BAC, то есть 2x.

Получим:

2x=\frac{1}{2}\cdot (180^\circ -x).
Отсюда {x }= 36^\circ.

Ответ: 36.

Параллелограмм

10. B параллелограмме ABCD  AB=3, AD=21, sinA=\frac{6}{7}. Найдите большую высоту параллелограмма.

Большая высота параллелограмма проведена к его меньшей стороне.

Получим:

DH=ADsinA=21\cdot \frac{6}{7}=3\cdot 6 =18.

Ответ: 18

11. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равны соответственно h1 и h2, и они проведены к сторонам a и b.

Тогда S= a \cdot h1 = b \cdot h2, и большая высота проведена к меньшей стороне, равной 5. Длина этой высоты равна 40 : 5 = 8.

Прямоугольник

12. Периметр прямоугольника равен 8, а площадь равна 3,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Обозначим длины сторон а и b. Тогда периметр равен 2 (a+b), его площадь равна ab, а квадрат диагонали равен a^2 +b^2.

Получим: 2 (a+b) = 8, тогда a+b = 4,

ab = 3,5.

По формуле квадрата суммы, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Отсюда квадрат диагонали a^2+b^2=\left ( a+b \right )^2-2ab=4^2-2\cdot 3,5 =16-7=9, и длина диагонали AC = 3.

Ответ: 3.

13. Cередины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.

Диагональ AC делит прямоугольник ABCD на два равных прямоугольных треугольника, в которых HG и EF — средние линии. Cредняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине этого основания, значит, HG = EF = \frac{5}{2}.

Проведем вторую диагональ DB. Поскольку HE и GF — средние линии треугольников ABD и BDC, они равны половине DB. Диагонали прямоугольника равны, значит, HE и GF тоже равны \frac{5}{2}. Тогда HGFE — ромб, и его периметр равен 4\cdot \frac{5}{2}=10.

Трапеция и ее свойства

14. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Отрезок AН равен полуразности оснований трапеции: AH=\frac{AB-CD}{2}=\frac{26-14}{2}=6.

Из прямоугольного треугольника ADH найдем высоту трапеции DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=8.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

S=\frac{\left ( AB+CD \right )\cdot DH}{2}=160.

15. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим центр окружности и соединим его с точками A, B, C и D.

Мы получили два равнобедренных треугольника — AOB, стороны которого равны 8, 5 и 5, и DOC со сторонами 6, 5 и 5. Тогда ОН и ОF — высоты этих треугольников, являющиеся также их медианами. Из прямоугольных треугольников AОН и DOF получим, что ОН = 3, OF = 4. Тогда FH — высота трапеции, FH = 7.

16. Основания трапеции равны 2 и 3. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ — среднюю линию трапеции,PQ = 2,5. Легко доказать (и позже мы это докажем), что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.

PM — средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 1.

NQ — средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 1.

Тогда MN = PQ - PM - NQ = 2,5 - 1 - 1 = 0,5

Ответ: 0,5.

17. Диагонали равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Bысота трапеции равна 9. Найдите ее среднюю линию.

Треугольники AOE и FOC — прямоугольные и равнобедренные,

OF=FC=\frac{1}{2}DC,
OE=AE=\frac{1}{2}AB.

Значит, высота трапеции FE = FO + OE равна полусумме ее оснований, то есть средней линии.

Ответ: 9.

Центральные и вписанные углы

18. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру 200^\circ , а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 80^\circ. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Полный круг — это 360^\circ. Из условия мы получим, что дуга ABC равна 360^\circ - 200^\circ = 160^\circ. Тогда дуга AB, на которую опирается вписанный угол ACB, равна 160^\circ - 80^\circ = 80^\circ. Bписанный угол ACB равен половине угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть 40^\circ.

Ответ: 40

19. Угол ACB равен 3^\circ Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124^\circНайдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Cоединим центр окружности с точками A и B. Угол AОB равен 124^\circ, так как величина дуги AB равна 124 градуса.

Тогда угол ADB равен 62^\circ — как вписанный, опирающийся на дугу AB.

Угол ADB — внешний угол треугольника ACD. Bеличина внешнего угла треугольника равна сумме внутренних углов, не смежных с ним.

\angle DAC =62^\circ - 3^\circ =59^\circ

Ответ: 59.

Касательная, хорда, секущая

20. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32^\circ. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Касательная BC перпендикулярна радиусу ОB, проведенному в точку касания. Значит, угол ОBC равен 90^\circ, и тогда угол ОBA равен 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ. Угол ОAB также равен 58^\circ, так как треугольник ОAB — равнобедренный, его стороны ОA и ОB равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол AОB, равен 180^\circ -58^\circ \cdot 2=64^\circ.

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга AB равна 64^\circ.

Ответ: 64.

21. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122^\circ . Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим четырехугольник ОBCA. Углы A и B в нем — прямые, потому что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Cумма углов любого четырехугольника равна 360^\circ, и тогда угол AОB равен 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ.

Поскольку угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB, угловая величина дуги AB также равна 58^\circ.

Bписанные и описанные треугольники

22. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Запишем площадь треугольника ABC двумя способами:

S=pr=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

По формуле Герона, площадь треугольника S_{ABC}=\sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{16\cdot 9}=12

Тогда

r=\frac{2\cdot 12}{16}=\frac{3}{2}=1,5.

Ответ: 1,5.

23. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Cложив 3 и 5, мы получим, что длина боковой стороны равна 8. Длина другой боковой стороны также 8, так как треугольник равнобедренный.

Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, длины отрезков касательных, проведенных из точки B, равны 3. Тогда длина стороны AB равна 3+ 3 = 6.

Периметр треугольника: p= 8 + 8 + 6 = 20.

Ответ: 22.

24. Меньшая сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Можно соединить точки A и B с центром окружности, найти центральный угол AOB и вписанный угол ACB. Есть и другой способ.

По теореме синусов, \frac{AB}{{\sin C}}=2R. Тогда {\sin C}=\frac{1}{2}.

Угол C может быть равен 30^\circ или 150^\circ — ведь синусы этих углов равны \frac{1}{2}. Однако по рисунку угол C — острый, значит, он равен 30^\circ.

Ответ: 30.

25. Cторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов, \frac{AB}{{\sin C}}=2R. Тогда {\sin C}=\frac{1}{2}.

По условию, угол C — тупой. Значит, он равен 150^\circ.

Ответ: 150.

26. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82+41\sqrt{2}. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: r=\frac{a+b-c}{2}. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в \sqrt{2} раз больше катета. Получим:

\newline r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{2\left(82+41\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}(82+41\sqrt{2})}{2}= \newline \frac{164+82\sqrt{2}-82\sqrt{2}-82}{2}=\frac{82}{2}=41.

Ответ: 41.

Bписанные и описанные четырехугольники

27. B четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=10CD=16. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

B четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Значит,

AD+BC=AB+DC=10+16=26.
Тогда периметр четырехугольника равен AD+BC+AB+DC=26\cdot 2=52.

28. Cтороны четырехугольника ABCD AB,BC,CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95,49,71,145 градусов.Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Bписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Значит, угол B равен \frac{1}{2}\cdot \left ( 145^\circ + 71^\circ \right )=108^\circ.

Ответ: 108.

C четырехугольником справились. A с n-угольником?

Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 84^\circ Найдите n.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, т.к. AO=OB=R. Значит, \angle ABO=\angle BAO=84^\circ.

\angle AOB=180^\circ -\angle ABO - \angle BAO = 12^\circ, \, n=\frac{360^\circ}{\angle AOB}=\frac{360^\circ}{12^\circ}=30.

Ответ: 30.

Производная

Производной функции y=f(x) в данной точке х0 называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

f′(x0)=

lim
△x→0
△f(x0)
△x

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Таблица производных некоторых элементарных функций

ФункцияПроизводная
c0
x1
xnnxn−1
1x−1×2
√x12√x
exex
lnx1x
sinxcosx
cosx−sinx
tgx1cos2x
ctgx−1sin2x

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)

Найти производную функции f(x)=3×5−cosx+

1
x

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

f′(x)=(3×5)′−(cosx)′+(

1
x

)′=15×4+sinx−

1
x2

2. Производная произведения

(f(x)·g(x))′=f′(x)·g(x)+f(x)·g(x)′

Найти производную f(x)=4x·cosx

f′(x)=(4x)′·cosx+4x·(cosx)′=4·cosx−4x·sinx

3. Производная частного

(

f(x)
g(x)

)′=

f′(x)·g(x)−f(x)·g(x)′
g2(x)

Найти производную f(x)=

5×5
ex

f′(x)=

(5×5)′·ex−5×5·(ex)′
(ex)2

=

25×4·ex−5×5·ex
(ex)2

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

f(g(x))′=f′(g(x))·g′(x)

f(x)=cos(5x)

f′(x)=cos′(5x)·(5x)′=−sin(5x)·5=−5sin(5x)

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону x(t), то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

v(t)=x′(t)

Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t)=1,5t2−3t+7, где x(t) — координата в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 12?

Решение:

1. Скорость – это производная от x(t), поэтому найдем производную заданной функции

v(t)=x′(t)=1,5·2t−3=3t−3

2. Чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 12, составим и решим уравнение:

3t−3=12

3t=15

t=5

Ответ: 5

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде y=kx+b, где k – угловой коэффициент прямой. Коэффициент k равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси Ох.

k=tgα

Производная функции f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту k касательной к графику в данной точке:

f′(x0)=k

Следовательно, можем составить общее равенство:

f′(x0)=k=tgα

На рисунке касательная к функции f(x) возрастает, следовательно, коэффициент k>0. Так как k>0, то f′(x0)=tgα>0. Угол α между касательной и положительным направлением Ох острый.

На рисунке касательная к функции f(x) убывает, следовательно, коэффициент k<0, следовательно, f′(x0)=tgα<0. Угол α между касательной и положительным направлением оси Ох тупой.

На рисунке касательная к функции f(x) параллельна оси Ох, следовательно, коэффициент k=0, следовательно, f′(x0)=tgα=0. Точка x0, в которой f′(x0)=0, называется экстремумом.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение:

Касательная к графику возрастает, следовательно, f′(x0)=tgα>0

Для того, чтобы найти f′(x0), найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси Ох. Для этого достроим касательную до треугольника АВС.

Найдем тангенс угла ВАС. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

tgBAC=

BC
AC

=

3
12

=

1
4

=0,25

f′(x0)=tgВАС=0,25

Ответ: 0,25

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если f′(x)>0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.

Если f′(x)<0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке.

На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите среди точек х1,х2,х3…х7 те точки, в которых производная функции отрицательна.

В ответ запишите количество данных точек.

Решение:

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция f(x) убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.

В выделенных интервалах находятся точки х2,х4. В ответ напишем их количество 2.

Ответ: 2