Задание №6. Производная. Поведение функции. Первообразная — профильный ЕГЭ по Математике
Задание 6 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих встречаются вопросы о первообразной.
Геометрический смысл производной
Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.
Производная функции f\left ( x \right ) в точке x_0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.
\boldsymbol{f
- На рисунке изображён график функции y\ =\ f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0 .
Производная функции f(x) в точке x_0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке x_0.
Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:
f
Ответ: 0,25.
- На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0.
Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x_0.
Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке x_0 функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке x_0 образует тупой угол \alpha с положительным направлением оси X. Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла \varphi , смежного с углом \alpha.
Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg \varphi = 0, 25. Поскольку \alpha + \varphi = 180^{\circ}, имеем:
tg \alpha = tg(180^{\circ} -\varphi ) = — tg \varphi = -0, 25.
Ответ: −0, 25.
Касательная к графику функции
- Прямая y\ =\ -\ 4x\ -\ 11 является касательной к графику функции y\ =\ x^3 +\ 7x^2 +\ 7x\ -\ 6.
Найдите абсциссу точки касания.
Запишем условие касания функции y=f\left(x\right)\ и прямой y=kx+b в точке x_0 .
При x= x_0 значения выражений f\left(x\right)\ и kx+b равны.
При этом производная функции f\left(x\right)\ равна угловому коэффициенту касательной, то есть k.
\left{ \begin{array}{c}f\left(x\right)=kx+b \f^{
\left{ \begin{array}{c}x^3+{7x}^2+7x-6=-4x-11 \{3x}^2+14x+7=-4 \end{array}\right.
Из второго уравнения находим x =\ -1 или x=-\frac{11}{3}. Первому уравнению удовлетворяет только x = -1.
Физический смысл производной
Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.
Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.
Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.
- Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t^2 — 3t — 29, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.
Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета: x\left(t\right)=t^2-3t-29.
Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:
v\left(t\right)=x В момент времени t=3 получим:
v\left(3\right)=2\cdot 3-3=3.
Ответ: 3
Применение производной к исследованию функций
Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.
Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.
Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.
И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.
Если f, то функция f (x) возрастает.
Если f, то функция f (x) убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
f(x) возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
f + 0 — 0 +
- На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Производная функции f { в точках максимума и минимума функции f(x). Таких точек на графике 5.
Ответ: 5.
- На рисунке изображён график y = f — производной функции f(x), определённой на интервале (-6; 5). В какой точке отрезка [-1; 3] функция f(x) принимает наибольшее значение?
Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?
Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.
На отрезке [-1;3] производная функции f(x) положительна.
Значит, функция f(x) возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение f(x). Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.
Ответ: 3.
- На рисунке изображён график функции y= f(x), определённой на интервале (-3; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 1.
Прямая y=1 параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции y = f(x) точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.
Ответ: 7.
- На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-6; 9].
Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке [-6; 9] такая точка всего одна! Это x=7.
Ответ: 1.
- На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 5). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [-5; 4].
Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [- 5; 4] график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке x = -2. В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.
Значит, x= -2 является точкой экстремума.
Первообразная и формула Ньютона-Лейбница
Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида y = F(x) + C образуют множество первообразных функции y = f(x).
- На рисунке изображён график y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-6; 6). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-4; 4] .
Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x).
Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку [-4; 4] , в которых производная функции F(x) равна нулю. Это точки максимума и минимума функции F(x). На отрезке [-4; 4] таких точек 4.
Ответ: 4.
Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье