Эйнштейн-School
Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 1

а) Решите уравнение \displaystyle (x^2+2x-2)(log_3(x^2-5)+log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{5}-x))=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3,5; -2,8].

Решение:

а) Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Таким образом, уравнение равносильно системе:

Корни уравнения x^2+2x-2=0 — это x=\sqrt{3}-1 или x=\sqrt{3}-1

Получим:

Левую часть уравнения log_3(x^2-5)-log_3(\sqrt{5}-x)=0 упростим по формуле разности логарифмов:

\displaystyle log_a b - log_a c = log_ a \frac{b}{c}. Получим:

\displaystyle log_3(x^2-5)-log_3(\sqrt{5}-x)=log_3 \frac{x^2-5}{\sqrt{5}-x}=log_3(-x-\sqrt{5})

Так как x-\sqrt{5} \, \textless \, 0, выражение (x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}) положительно, только если x+\sqrt{5} \, \textless \,0.

Значит, -x-\sqrt{5}\, \textgreater \, 0.

Система примет вид:

Поскольку x=\sqrt{3}-1 положительные числа, для него не выполняются условия x \, \textless \, -\sqrt{5}.

Если x=-\sqrt{5}-1, получим: -\sqrt{5}-1 \, \textless \, -\sqrt{5}.

Сравним -\sqrt{3}-1 и -\sqrt{5}.

-\sqrt{3}-1 \vee -\sqrt{5}
\sqrt{5}- \sqrt{3} \vee 1
(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 \vee 1
5 - 2 \sqrt{15}+3 \vee 1
7 \vee 2\sqrt{15}
49 \vee 4 \cdot 15;

49 \, \textless \, 60, значит, -\sqrt{3} - 1 \, \textless \, -\sqrt{5}.

Уравнение имеет 2 корня:

x = -\sqrt{3}-1 или x=-\sqrt{5}-1.

б) Найдём корни на отрезке x \in [-3,5; -2,8].

1) Для корня x_1 = -\sqrt{3}-1 проверим выполнение неравенства -3,8 \, \textless \, -\sqrt{3}-1 \, \textless \, -2,8

-4,8\, \textless \, \-\sqrt{3}\, \textless \, -1,8
1,8\, \textless \, \sqrt{3}\, \textless \, 4,8

неравенство не выполняется, так как 1,8^2=3,24\, \textgreater \, 3.

Значит, x-1 = -\sqrt{3}-1 не лежит на указанном отрезке.

2) Для корня x_2 = -\sqrt{5}-1 проверим выполнение неравенства:

-3,8\, \textless \, -\sqrt{5}-1\, \textless \, -2,8
-4,8-\sqrt{5}\, \textless \, -1,8
1,8\, \textless \, \sqrt{5}\, \textless \, 4,8

3,24\, \textless \, 5\, \textless \, 23,04 — верно.

Ответ: а) -1-\sqrt{5}; -1-\sqrt{3}

б) -1-\sqrt{5}.

В этом уравнении главное – не забыть об ОДЗ логарифмической функции. Дополнительная сложность: сравнение десятичных дробей и иррациональных чисел в пункте (б).

Задание 18. Числа и их свойства — профильный ЕГЭ по Математике

Вот она! Загадочная. Нестандартная. Задача 18 Профильного ЕГЭ по математике.

Эта задача оценивается в целых 4 первичных балла, и они пересчитываются в 9-10 тестовых.

Можно ничего не знать. И удачно подобрать пример. И получить 1 балл за пункт (а). Во всяком случае, попробовать это сделать.

А можно потратить 2 часа на перебор вариантов… и так ничего и не найти. Если не знаешь секретов решения этой задачи. ОК, некоторые из секретов мы расскажем.

Действительно, пункт (а) в задаче 18 почти всегда решается сразу. Пункт (б) тоже решается быстро, но только если повезет. Пункт (в) без специальной подготовки решить невозможно.

Многие считают, что если в этой задаче в пункте (а) ответ «да», то во втором обязательно должно быть «нет». Авторитетно заявляем: нет, необязательно! Может быть любое сочетание из «да» и «нет». И может быть «да» в обоих пунктах, и «нет» в обоих.

Если вопрос в этой задаче (неважно, в каком пункте) формулируется как «Может ли быть…» — и дальше некоторое утверждение, и ваш ответ: «Да», — то одного вашего «Да» недостаточно. Нужен пример. И если вы его подберете, вы не обязаны объяснять, как нашли его.

Если ответ на этот вопрос: «Нет», то вам нужно это доказать. «Нет, потому что…» — и приводите свое доказательство.

В общем, проще показать это на примерах:

1. За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.

а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?

б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

а) Заметим, что заряд аккумулятора при прохождении уровня уменьшается на 3, 6 или 9 пунктов, и все эти числа делится на 3. Поскольку 32 не делится на 3, заряд не мог уменьшиться на 32 пункта.

б) Да, на 33 пункта заряд мог уменьшиться.

Пусть на х уровнях получено по 3 звезды, на у уровнях по 2 звезды и на z уровнях по 1 звезде.

Тогда:

3x+2y+z=17

3x+6y+9z=33, то есть x+2y+3z=11.

Сложив уравнения 3x+2y+z=17 и x+2y+3z=11, получим, что x+y+z=7 (пройдено 7 уровней).

Системе удовлетворяют z=1,\;y=2,\;x=4. При этом заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта.

в) Поскольку x+2y+3z=11 и x+y+z=7, получаем, что y+2z=4. Возможны варианты:

z=0, тогдаy=4,\;x=3, получено 47 тысяч очков.

z=1, тогда y=2,\;x=4, получено 48 тысяч очков.

z=2, тогда y=0,\;x=5, получено 49 тысяч очков – это максимально возможное количество.

Это была простая задача №18. А вот сложная.

2. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в два раза?

б) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе № 2 равняться 1?

в) Средний балл в школе № 1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Пусть в первой школе писали тест n учеников, а во второй m учеников, причем

m=51-n, n\geq 2,\;m\geq 2.

Пусть учащиеся первой школы набрали в сумме S_{1} балл, а учащиеся второй S_{2} баллов.

Тогда средние баллы равны \frac{S_{1}}{n} и \frac{S_{2}}{m}.

Пусть из первой школы во вторую перешел ученик, набравший за тест k баллов.

а) Предположим, что средний балл в школе № 1 вырос в два раза. Тогда \frac{2S_1}{n}= \frac{S_1 - k}{n-1}.

Отсюда: S_{1}\left ( n-2 \right )=-kn.

Поскольку kn положительно, получаем, что – противоречие с условием.

Ответ в пункте (а): нет.

б) Во втором пункте ответ тоже «нет». Предположим, что \frac{S_{2}}{m}=1. Получим:

\frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1\cdot \frac{S_{1}}{n}

\frac{S_{2}+k}{m+1}=1,1\cdot \frac{S_{2}}{m}.

Поскольку m=51-n,

\frac{S_{2}+k}{52-n}=1,1\cdot \frac{S_{2}}{51-n}.

Если \frac{S_{2}}{m}=1,то \frac{S_{2}}{51-n}.

Тогда:

\frac{51-n+k}{52-n}=1,1. Отсюда:

10k+n=62. Очевидно, k\leq 6 и n=62-10k.

Что будет, если k=6? Тогда n=62-10k=2.

Подставив эти n и k в уравнение

\frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1\cdot \frac{S_{1}}{n} , получим: \frac{S_{1}-6}{2-1}=1,1\cdot \frac{S_{1}}{2}, S_{1}=\frac{40}{3}, противоречие с условием, поскольку S_{1} – целое. Значит,

С другой стороны, из условия \frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1\cdot \frac{S_{1}}{n} получаем, что

10kn=S_{1}\left ( 11-n \right ), значит, 2\leq n\leq 10.

Но если n=62-10k\leq 10, то 10k\geq 52 и k\geq 6 – получили противоречие.

в) По условию, и в первой, и во второй школах первоначально средний балл был целым числом. Он не может быть равен единице (из пункта (б)). Проверим, может ли он быть равен 2, 3, 4…

Пусть первоначально средний балл равен 2. Тогда

\frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1\cdot \frac{S_{1}}{n}
\frac{S_{2}+k}{52-n}=\frac{1,1\cdot S_{2}}{51-n}

\frac{S_{2}}{m}=2. Условие 2\leq n\leq 10 по-прежнему должно выполняться.

Преобразуя эти уравнения, получим:

S_{2}=2\left ( 51-n \right )=102-2n
\frac{102-2n+k}{52-n}=1,1\cdot 2
1020-20n+10k=22\cdot 52-22n
2n+10k=124
n=62-5k

2\leq 62-5k\leq 10.

Значит, k\geq \frac{52}{5} и k\leq 12. Подходит k = 11 и k = 12.

При таких значениях k уравнение n=62-5k имеет решения n = 7 или n = 2.

Подставим поочередно пары k = 11, n = 7 и k = 12, n = 2 в уравнение

\frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1\cdot \frac{S_{1}}{n} , получим, что целых решений S_{1} это уравнение не имеет.

Пусть первоначально средний балл равен 3. Тогда

\frac{S_{1}-k}{n-1}=1,1\cdot \frac{S_{1}}{n}
\frac{S_{2}+k}{52-n}=\frac{1,1\cdot S_{2}}{51-n}

\frac{S_{2}}{m}=3,2\leq n\leq 10

\frac{153-3n+k}{52-n}=1,1\cdot 3

3n+10k=186, подходит n = 2, k = 18, тогда S_{1}=40.

Например, в первой школе тест писали 2 учащихся и набрали 22 и 18 баллов. В школе № 2 писали тест 49 учащихся и каждый набрал по три балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 18 баллов.

Задание 10 ЕГЭ по математике. Теория вероятностей. Повышенный уровень сложности

В 2022 году в варианты ЕГЭ по математике добавились новые задачи по теории вероятностей. По сравнению с теми, которые раньше были в варианте, это повышенный уровень сложности.

Мы разберем задачу №10 из Демоверсии ЕГЭ-2022, задания из Методических рекомендаций ФИПИ для учителей и аналогичные им.

1. Демо-версия ЕГЭ-2022

Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало

6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?

Решение:

Выпишем возможные исходы как тройки чисел так, чтобы в сумме получилось 6.

Всего 10 возможных исходов. Благоприятные исходы помечены красным цветом, их 6.

По определению вероятности получаем p = 6 : 10 = 0,6.

2. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.

Решение:

Выпишем возможные варианты получения 8 очков в сумме:

Подходит только вариант 5; 3. Вероятность этого события равна 1 : 5 = 0,2 (один случай из 5 возможных).

Ответ: 0,2

3. В ящике 4 красных и 2 синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Решение:

Благоприятными будут следующие исходы:

Первый раз – вытащили красный фломастер,

И второй раз – красный,

А третий раз – синий.

Вероятность вытащить красный фломастер (которых в ящике 4) равна \displaystyle \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

После этого в ящике остается 5 фломастеров, из них 3 красных, вероятность вытащить красный равна \displaystyle \frac{3}{5}

Наконец, когда осталось 4 фломастера и из них 2 синих, вероятность вытащить синий равна \displaystyle \frac{1}{2}.

Вероятность события {красный – красный – синий } равна произведению этих вероятностей, то есть

\displaystyle \frac{2}{3} \cdot\frac{3}{5} \cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{5} = 0,2

Ответ: 0,2

4. В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают 2 фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Решение:

Всего в коробке 25 фломастеров.

В условии не сказано, какой из фломастеров вытащили первым – красный или синий.

Предположим, что первым вытащили красный фломастер. Вероятность этого \displaystyle \frac{9}{25}, в коробке остается 24 фломастера, и вероятность вытащить вторым синий равна \displaystyle \frac{10}{24}. Вероятность того, что первым вытащили красный, а вторым синий, равна \displaystyle \frac{9}{25} \cdot \frac{10}{24}=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{20}.

А если первым вытащили синий фломастер? Вероятность этого события равна \displaystyle \frac{10}{25} = \frac{2}{5}. Вероятность после этого вытащить красный равна \displaystyle\frac{9}{24} = \frac{3}{8}, вероятность того, что синий и красный вытащили один за другим, равна \displaystyle\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{20}.

Значит, вероятность вытащить первым красный, вторым синий или первым синий, вторым красный равна \displaystyle\frac{3}{20} + \frac{3}{20} = 0,3.

А если их доставали из коробки не один за другим, а одновременно? Вероятность остается такой же: 0,3. Потому что она не зависит от того, вытащили мы фломастеры один за другим, или с интервалом в 2 секунды, или с интервалом в 0,5 секунды… или одновременно!

Ответ: 0,3.

5. При подозрение на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев.

Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение:

Уточним условие: «Какова вероятность того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание?». В такой формулировке множество возможных исходов — это число пациентов с положительным результатом ПЦР-теста, причем только часть из них действительно заболевшие.

Пациент приходит к врачу и делает ПЦР-тест. Он может быть болен этим заболеванием – с вероятностью х. Тогда с вероятностью 1 – х он этим заболеванием не болен.

Анализ пациента может быть положительным по двум причинам:

а) пациент болеет заболеванием, которое нельзя называть, его анализ верен; событие А,

б) пациент не болен этим заболеванием, его анализ ложно-положительный, событие В.

Это несовместные события, и вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий.

Имеем:

P(A)=0,86x
P(B)=0,06 \cdot (1-x)
P(A+B)=P(A)+P(B)=0,86x+0,06(1-x)=0,1.

Мы составили уравнение, решив которое, найдем вероятность x.

x=0,05.

Что такое вероятность х? Это вероятность того, что пациент, пришедший к доктору, действительно болен. Здесь множество возможных исходов — это количество всех пациентов, пришедших к доктору.

Нам же нужно найти вероятность z того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание. Вероятность этого события равна 0,05 \cdot 0,86 (пациент болен и ПЦР-тест выявил заболевание, произведение событий). С другой стороны, эта вероятность равна 0,1 \cdot z (у пациента положительный результат ПЦР-теста, и при выполнении этого условия он действительно болен).

Получим: 0,05 \cdot 0,86 = 0,1 \cdot z отсюда z = 0,43.

Ответ: 0,43

Вероятность того, что пациент с положительным результатом ПЦР-теста действительно болен, меньше половины!

Кстати, это реальная проблема для диагностики в медицине, то есть в задаче отражена вполне жизненная ситуация.

6. Телефон передает sms-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой следующей попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше 2 попыток.

Решение:

Здесь все просто. Либо сообщение удалось передать с первой попытки, либо со второй.

Вероятность того, что сообщение удалось передать с первой попытки, равна 0,4.

С вероятностью 0,6 с первой попытки передать не получилось. Если при этом получилось со второй, то вероятность этого события равна 0,6 \cdot 0,4.

Значит, вероятность того, что для передачи сообщения потребовалось не более 2 попыток, равна 0,4 + 0,4 \cdot 0,6 = 0,4 \cdot (1+0,6) = 0,64

Ответ: 0,64

7. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

А это более сложная задача. Можно, как и в предыдущих, пользоваться определением вероятности и понятиями суммы и произведения событий. А можно применить формулу Бернулли.

Формула Бернулли:

– Вероятность P^m_n того, что в n независимых испытаниях некоторое случайное событие A наступит ровно m раз, равна:

P^m_n = C^m_n p^m q^{n-m}, где

p – вероятность появления события A в каждом испытании;

q=1-p – вероятность появления события A в каждом испытании

Коэффициент C^m_n часто называют биномиальным коэффициентом.

\displaystyle C^m_n = \frac{n!}{m!(n-m)!}

Нет, это не заклинание. Не нужно громко кричать: Эн!!!! Поделить на эм! И на эн минус эм! То, что вы видите в формуле, – это не восклицательные знаки. Это факториалы. На самом деле все просто: n! (читается: эн факториал) – это произведение натуральных чисел от 1 до n. Например,

6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6

Пусть вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна \displaystyle\frac{1}{2}, вероятность решки тоже \displaystyle \frac{1}{2}. Давайте посчитаем вероятность того, что из 10 бросков монеты выпадет ровно 5 орлов.

\displaystyle P_1=C_{10}^5\left ( \frac{1}{2} \right )^5\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^5=\frac{10!}{5!\cdot 5!\cdot 2^{10}}

Вероятность выпадения ровно 4 орлов равна

\displaystyle P_2=C_{10}^4\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^4\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^6=\frac{10!}{4!\cdot 6!\cdot 2^{10}}

Найдем, во сколько раз P_1 больше, чем P_2.

\displaystyle \frac{P_1}{P_2}=\frac{10!\cdot 4!\cdot 6!\cdot 2^{10}}{5!\cdot 5!\cdot 2^{10}\cdot 10!}=\frac{4!}{5!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 \cdot 1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5}=
\displaystyle =\frac{6}{5} = 1,2

Ответ: 1,2

8. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?

Решение:

Стрелок поражает мишень с первого или со второго выстрела;

Вероятность поразить мишень равна

0,6+0,4 \cdot 0,6 = 0,84

Вероятность поразить 5 мишеней из 5 равна 0,84^5 = P_1.

Вероятность поразить 4 мишени из 5 находим по формуле Бернулли:

\displaystyle P_2=C_{5}^{4}\cdot 0,84^{4}\cdot 0,16=\frac{5!\; 0,84^4 \cdot 0,16}{4!}=5\cdot 0,84^4 \cdot 0,16
\displaystyle \frac{P_1}{P_2} = \frac{0,84^5}{5 \cdot 0,84^4 \cdot 0,16}= \frac{0,84}{0,8}=1,05

9. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым выстрелом равна 0,5. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 2 мишени»?

Решение:

Найдем вероятность поразить одну мишень – с первого или со второго выстрела.

С вероятностью \displaystyle \frac{1}{2} стрелок поражает мишень первым выстрелом (и больше по ней не стреляет).

Найдем вероятность того, что стрелок поразит мишень вторым выстрелом. Она равна \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, так как с вероятностью \displaystyle \frac{1}{2} он промахнулся в первый раз и с вероятностью \displaystyle \frac{1}{2} второй выстрел был удачным.

Значит, вероятность поразить одну мишень первым или вторым выстрелом равна \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{3}{4}.

Теперь нам на помощь придет формула Бернулли.

Найдем вероятность того, что стрелок поразит ровно 3 мишени из 5.

\displaystyle P_1=P^3_5=C^3_5 \cdot \left ( \frac{3}{4} \right )^3 \cdot \left ( \frac{1}{4} \right )^2 = \frac{5!}{3!\ 2!} \cdot \frac{3^3}{4^5}

Вероятность поразить ровно 2 мишени из пяти

\displaystyle P_2=P^2_5=C^2_5 \cdot \left ( \frac{3}{4} \right )^2\cdot \left( \frac{1}{4} \right )^3 = \frac{5!}{3!\ 2!} \cdot \frac{3^2}{4^5}

Заметим, что C^3_5 = C^2_5.

Получим:

\displaystyle \frac{P_1}{P_2} = \frac{3^3 \cdot 4^5}{4^5 \cdot 3^2} = 3

Ответ: 3.

10. Стрелок в тире стреляет по мишени. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,3 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать этому стрелку, чтобы вероятность поражения цели была не менее 0,6?

Решение:

Похожие задачи были в Банке заданий ФИПИ и раньше. Пусть у стрелка есть n патронов. Стрелок может поразить цель первым, вторым … n-ным выстрелом, и все эти исходы для нас благоприятны. Не подходит только один исход – когда стрелок n раз стрелял и каждый раз был промах.

Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 – 0,3 = 0,7.

Вероятность n промахов (из n выстрелов) равна 0,7^n, а вероятность попасть с первого раза или сто второго … или с n-ого выстрела равна 1-0,7^n.

По условию, 1-0,7^n \geq 0,6

0,7^n \leq 0,4

Если n = 2, то 0,7^2 = 0,49 – не подходит;

Для n=3 условие выполнено, 0,7^3 = 0,343 \textless 0,4;

Хватит 3 патронов.

Ответ: 3.

11. Игральную кость бросают до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысит число 3. Какова вероятность того, что для этого потребуется ровно 3 броска? Ответ округлите до сотых.

Решение:

Кажется, что задача сложная (на самом деле нет).

Давайте подумаем: как получилось, что ровно за 3 броска игральной кости сумма выпавших очков оказалась больше трех? Из этого следует, что за 2 броска сумма выпавших очков была меньше 3 или равна 3.

Если за 2 броска сумма выпавших очков была меньше 3, значит, она была равна 2, то есть первый раз выпала единица и второй раз тоже единица. Вероятность этого события равна \displaystyle \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}.

Сколько же очков в этом случае должен дать третий бросок? Очевидно, что подойдет 2, 3, 4, 5, 6 – все, кроме 1. Вероятность того, что при третьем броске выпадет число очков, не равное единице, равна \displaystyle \frac{5}{6}.

Значит, вероятность того, что при первых двух бросках выпали единицы, а при третьем – не единица, равна \displaystyle \frac{5}{216}.

Нам подойдет также случай, когда сумма очков за первые 2 броска равна 3. Это значит, что выпали 2 и 1 или 1 и 2, то есть 2 благоприятных исхода из 36 возможных. Вероятность этого события равна \displaystyle \frac{2}{36} = \frac{1}{18}.

При этом нам все равно, что выпадет при третьем броске: очевидно, что сумма очков при трех бросках будет больше трех.

Окончательно получаем: \displaystyle \frac{5}{216} + \frac{1}{18} = \frac{17}{216} \approx 0,08

Ответ: 0,08

Вот еще одна задача из Демо-версии ЕГЭ-2022:

12. В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

Решение:

Пусть N – численность взрослого населения в городе (мужчин и женщин).

Количество взрослых мужчин в городе: 0,48N

Количество женщин в городе: 0,52N

Из них 0,15 * 0,52N = 0,078N женщин-пенсионеров,

Всего пенсионеров 0,126N,

Тогда количество мужчин-пенсионеров равно 0,126N – 0,078N = 0,048N.

Вероятность для случайно выбранного мужчины оказаться пенсионером равна отношению числа мужчин-пенсионеров к числу мужчин в городе, то есть 0,048 N : 0,48N = 0,1.

Ответ. 0,1.

Задание №1. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

В задании №1 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение \frac{6}{13}x^2=19\frac{1}{2}. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь \frac{6}{13} умножается на x^2. А в правой части — смешанное число 19\frac{1}{2}. Его целая часть равна 19, а дробная часть равна \frac{1}{2}. Запишем это число в виде неправильной дроби:

19\frac{1}{2}=\ \frac{19\cdot 2+1}{2} = \frac{39}{2}.

Получим:

\frac{6}{13}x^2=\frac{39}{2}
x^2=\frac{39\cdot 13}{2\cdot 6}=\frac{13\cdot 3\cdot 13}{2\cdot 6}=\frac{{13}^2}{4}
x=\pm \frac{13}{2},

x_1=-6,5 или x_2=6,5

Выбираем меньший корень.

Ответ: — 6,5.

2. Решите уравнение \left ( x-6 \right )^2=-24x

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

\left ( x-6 \right )^2=-24x\Leftrightarrow x^2-12x+36=-24x\Leftrightarrow
\Leftrightarrow x^2+12x+36=0\Leftrightarrow \left ( x+6 \right )^2=0\Leftrightarrow x=-6.

Ответ: — 6

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как \frac{4x-5}{4x-5} и приведем дроби к общему знаменателю:

\frac{5x-3}{4x-5}-\frac{4x-5}{4x-5}=0
\frac{x+2}{4x-5}=0
x= - 2

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

\sqrt{\frac{6}{4{x}-54} } =\frac{1}{7}.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\frac{6}{4{x}-{ 54}} =\frac{1}{49}

Решим пропорцию:

4{x}-{ 54}={ 6}\cdot { 49};
4{x}=348;
{ x}={ 87}.

Условие при этом выполняется.

Ответ: 87.

5. Решите уравнение \sqrt{72-x}=x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

\left\{\begin{matrix} 72-x=x^2\\72-x\geq 0 \hfill \\x\geq 0 \hfill \end{matrix}\right.

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

\sqrt{72-x}=x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 72-x=x^2\\72-x \geq 0 \\x \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow

Мы получили, что x=8. Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

72-x\ge 0.

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: x^2+x-72=0. Находят его корни: x=8 или x=-9. Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение \sqrt{45+4x}=x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 9.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение 5^{x-7}=\frac{1}{125}

Вспомним, что 125 = 5{}^{3}. Уравнение приобретает вид: 5{}^{x}{}^{-}{}^{7 }= 5{}^{-}{}^{3}. Функция y = 5^x монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

x - 7 = -3, откуда x = 4.

8. Решите уравнение {\left(\frac{1}{49}\right)}^{x-8}=7

Представим {\left(\frac{1}{49}\right)}^{ } как 7^{-2}

{\left(7^{-2}\right)}^{x-8}=7
7^{-2x+16}=7

Функция y = 7^x монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

-2x+16=1
-2x=-15
x=7,5

Ответ: 7,5.

9. Решите уравнение \left(\frac{1}{9} \right)^{{ x}-13} =3;

Представим {\textstyle\frac{1}{9}} в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что \left({ a}^{{ m}} \right)^{{ n}} ={ a}^{{ mn}}

\left(3^{-2} \right)^{{ x}-{ 13}} =3;
3^{-2{ x}+{ 26}} =3^{1} ;
-2{ x}+{ 26}={ 1};
{ x}={ 12,5}.

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел;

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

{{log}_5 \left(4+x\right)=2 }

Область допустимых значений: . Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как {{log}_5 25 } — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

{{log}_5 \left(4+x\right)={{log}_5 25 } }

Функция y = {{log}_5 x } монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом

4+x=25
x=21.

Ответ: 21.

11. Решите уравнение: {{log}_8 \left(x^2+x\right)={{log}_8 \left(x^2-4\right) } }

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Ответ: -4.

12. Решите уравнение: 2^{{{log}_4 \left(4x+5\right) }}=9.

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

{{log}_4 b }=\frac{{{log}_2 b }}{{{log}_2 4 }}=\frac{{{log}_2 b }}{2}

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 19.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

{{log}_{x-5} 49=2 }

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Получим систему:

\small \left\{\begin{matrix} \left ( x-5 \right )^2=49\\x-50 \\x-5 \neq 1 \end{matrix}\right.

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: x=12 и x=-2

Очевидно, корень x=-2 является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения: x=12.

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: cos \frac{\pi (x+1)}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену \frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=t. Получим: cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Получаем решения: t=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n, n\in Z. Вернемся к переменной x.

\frac{\pi (x+1)}{4}=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n, n\in Z. Поделим обе части уравнения на \pi и умножим на 4.

x+1=\pm 1+8n, n\in Z
\left[ \begin{array}{c}x=8n, n\in Z \\x=-2+8n. \end{array}\right.

Первой серии принадлежат решения -8; 0; 8\dots

Вторая серия включает решения -2; 6; 14\dots

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это x = -2.

Ответ: -2.

15. Решите уравнение tg \frac{\pi \left( x+1\right)}{4}= -1. В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение:

Сделаем замену \frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=t. Получим:tgt=-1. Решения этого уравнения:

t=-\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z. Вернемся к переменной х:

\frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=-\frac{\pi }{4}+\pi n, n \in Z. Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на \pi

x+1=-1+4n
x=-2+4n;

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

x=-2 ;2; 6\dots Наименьший положительный корень x = 2.

Ответ: 2

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.

Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Задание №6. Производная. Поведение функции. Первообразная — профильный ЕГЭ по Математике

Задание 6 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции f\left ( x \right ) в точке x_0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

\boldsymbol{f

  1. На рисунке изображён график функции y\ =\ f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0 .

Производная функции f(x) в точке x_0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке x_0.

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

f

Ответ: 0,25.

  1. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0.
    Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x_0.

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке x_0 функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке x_0 образует тупой угол \alpha с положительным направлением оси X. Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла \varphi , смежного с углом \alpha.

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg \varphi = 0, 25. Поскольку \alpha + \varphi = 180^{\circ}, имеем:

tg \alpha = tg(180^{\circ} -\varphi ) = — tg \varphi = -0, 25.

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

  1. Прямая y\ =\ -\ 4x\ -\ 11 является касательной к графику функции y\ =\ x^3 +\ 7x^2 +\ 7x\ -\ 6.

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции y=f\left(x\right)\ и прямой y=kx+b в точке x_0 .

При x= x_0 значения выражений f\left(x\right)\ и kx+b равны.

При этом производная функции f\left(x\right)\ равна угловому коэффициенту касательной, то есть k.

\left{ \begin{array}{c}f\left(x\right)=kx+b \f^{

\left{ \begin{array}{c}x^3+{7x}^2+7x-6=-4x-11 \{3x}^2+14x+7=-4 \end{array}\right.

Из второго уравнения находим x =\ -1 или x=-\frac{11}{3}. Первому уравнению удовлетворяет только x = -1.

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

  1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t^2 — 3t — 29, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета: x\left(t\right)=t^2-3t-29.

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

v\left(t\right)=x В момент времени t=3 получим:

v\left(3\right)=2\cdot 3-3=3.

Ответ: 3

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если f, то функция f (x) возрастает.

Если f, то функция f (x) убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

f(x) возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
f + 0 — 0 +

  1. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Производная функции f { в точках максимума и минимума функции f(x). Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

  1. На рисунке изображён график y = f — производной функции f(x), определённой на интервале (-6; 5). В какой точке отрезка [-1; 3] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке [-1;3] производная функции f(x) положительна.

Значит, функция f(x) возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение f(x). Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

  1. На рисунке изображён график функции y= f(x), определённой на интервале (-3; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 1.

Прямая y=1 параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции y = f(x) точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

  1. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-6; 9].

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке [-6; 9] такая точка всего одна! Это x=7.

Ответ: 1.

  1. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 5). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [-5; 4].

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [- 5; 4] график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке x = -2. В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, x= -2 является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида y = F(x) + C образуют множество первообразных функции y = f(x).

  1. На рисунке изображён график y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-6; 6). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-4; 4] .

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x).

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку [-4; 4] , в которых производная функции F(x) равна нулю. Это точки максимума и минимума функции F(x). На отрезке [-4; 4] таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №5. Стереометрия

Задание 5 Профильного ЕГЭ по математике – это основы стереометрии. Это задачи на вычисление объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения.

Запоминаем один из главных лайфхаков решения задач по стереометрии:

Отношение объемов подобных тел  равно кубу коэффициента подобия.

Если все линейные размеры объемного тела увеличить в k раз, то его площадь увеличится в k^2 раз, а объем в k^3 раз.

S_2=k^2 \cdot S_1
V_2=k^3 \cdot V_1

И решаем задачи. У нас все получится!

1. Во сколько раз увеличатся площадь поверхности и объем куба, если его ребро увеличить в два раза?

Отношение площадей поверхности подобных тел равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия. При увеличении ребра в 2 раза площадь поверхности увеличится в 4 раза, а объем – в 8 раз.

2. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса меньший конус, все линейные размеры которого в 3 раза меньше, чем у большого. Поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Она равна 2.

3. Объем пирамиды равен 10. Через середину высоты параллельно основанию пирамиды проведено сечение, которое является основанием меньшей пирамиды с той же вершиной. Найдите объем меньшей пирамиды.

Меньшая пирамида подобна большой, коэффициент подобия k=\frac{1}{2}. Отношение объемов  подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Поэтому объем меньшей пирамиды в 8 раз меньше объема исходной пирамиды. Он равен  \frac{10}{8}=1,25.

4. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.

Площадь основания пирамиды ЕАВС в 2 раза меньше, чем у пирамиды ABCDS. Высота пирамиды ЕАВС равна половине высоты пирамиды ABCDS. Значит, объем пирамиды ЕАВС в 4 раза меньше объема пирамиды ABCDS. Он равен \frac{116}{4}=29.

5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка E – середина ребра AB, боковое ребро SC равно 4, длина отрезка SE равна \sqrt{10}.  Найти объем пирамиды SABCD .

Найдем сторону основания пирамиды. По теореме Пифагора, для треугольника  SAE получаем, что AE=\sqrt{6}. Соответственно, сторона основания пирамиды равна 2\sqrt{6}. Если обозначить центр основания за H, то высоту пирамиды  найдем по теореме Пифагора для треугольника SHE – она равна 2.

Применяя формулу для объема пирамиды V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot h, получаем ответ: 16.

Многие задания №8 Профильного ЕГЭ по математике можно считать подготовительными – для того, чтобы научиться решать задачу 14 из второй части ЕГЭ.

6. Стороны основания треугольной пирамиды равны 15, 16 и 17. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углами 45°. Найдите объем пирамиды.

Пусть точка О – проекция точки S на плоскость основания пирамиды. Прямоугольные треугольники АОS, ВОS, СОS равны (по общему катету ОS и острому углу). Значит, АО = ВО = СО. Точка О, равноудаленная от вершин основания, – это центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Тогда АО = ВО = СО = OS = R, где R – радиус этой окружности.

Радиус описанной окружности найдем по формуле

R=\frac{abc}{4S};

Площадь \triangle ABC найдем по формуле Герона:

S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, где p=\frac{15+16+17}{2}=24  – полупериметр.

S_{\triangle ABC}=\ \sqrt{24\cdot 9\cdot 8\cdot 7}=\sqrt{3\cdot 8\cdot 3\cdot 3\cdot 8\cdot 7}=24\sqrt{21};
R=\frac{15\cdot 16\cdot 17}{4\cdot 24\sqrt{21}}=\frac{5\cdot 17}{2\sqrt{21}};
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot OS=\frac{1}{3}\cdot 24\sqrt{21}\cdot \frac{5\cdot 17}{2\cdot \sqrt{21}}=\frac{5\cdot 17}{4}=\frac{85}{4}=21,25

Заметим, что если боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то вершина проецируется в центр основания.

7. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми  и   Ответ дайте в градусах.

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости. Поскольку CC_1 и AA_1 параллельны, найдем угол между CC_1 и BC_1. Он равен 45 градусов, так как грань   –  квадрат.

Ответ: 45.

ЕГЭ-2022 по математике базового уровня

Каждое из заданий 1–21 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Каждое верно выполненное задание оценивается 1 баллом.

Перевод баллов в оценку
0-6 → 2
7-11 → 3
12-16 → 4
17-21 → 5

Планиметрия

Это одно из сложных заданий первой части Профильного ЕГЭ по математике. Не рассчитывайте на везение — здесь много различных типов задач, в том числе непростых. Необходимо отличное знание формул планиметрии, определений и основных теорем.

Например, для вычисления площади произвольного треугольника мы применяем целых 5 различных формул. Cколько из них вы помните?

Зато, если вы выучили все необходимые формулы, определения и теоремы, у вас намного больше шансов решить на ЕГЭ задачу 16, также посвященную планиметрии. Многие задания под №3 являются схемами для решения более сложных геометрических задач.

Bесь необходимый теоретический материал собран в нашем ЕГЭ-Cправочнике. Поэтому сразу перейдем к практике и рассмотрим основные типы заданий №3 Профильного ЕГЭ по математике.

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

1. B треугольнике ABC угол C равен 90^\circ, BC = 15, tgA=0,75Найдите AC.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Катет BC — противолежащий для угла A, катет AC— прилежащий. Получим:

AC=\frac{BC}{tgA}=\frac{15}{0,75}=20

Ответ: 20.

2. B треугольнике ABC угол C равен 90^\circ, \, tgA=\frac{9}{40}, \, AC=20Найдите AB.

По определению косинуса угла, cosA=\frac{AC}{AB},AB=\frac{AC}{{\cos A}}.

Найдем косинус угла A с помощью формулы:

{tg}^2\angle { A+1=}\frac{{ 1}}{{cos}^2\angle { A}}

Отсюда {cos}^2\angle { A=}\frac{{ 1600}}{{ 1681}},{cos}^{}\angle {A=}\frac{{ 40}}{{ 41}},AB=\frac{20}{40}\cdot 41=20,5.

Ответ: 20,5

Треугольники. Формулы площади треугольника.

3. B треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Bнешний угол при вершине B равен 122^\circ Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По условию, угол DBC — внешний угол при вершине B — равен 122^\circ. Тогда угол CBA равен 180^\circ -122^\circ =58^\circ. Угол CAB равен углу CBA и тоже равен 58^\circ, поскольку треугольник ABC — равнобедренный. Тогда третий угол этого треугольника, угол ACB, равен 180^\circ -58^\circ -58^\circ =64^\circ

4. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен  Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

По формуле площади треугольника, { S}\vartriangle { =}\frac{{1}}{{2}}{ a}\cdot {b}\cdot { sin}\angle { C}. Получим:

S=\frac{1}{2}\cdot 10^2 \cdot sin30^\circ=25 см2

Ответ: 25

Элементы треугольника: высоты, медианы, биссектрисы

5. B треугольнике ABC угол ACB равен 90^\circ , угол B равен 58^\circ, CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD — равнобедренный, CD=BD. Тогда

\angle DCB=\angle DBC=58^\circ.

Углы ACD и DCB в сумме дают 90^\circ. Отсюда

\angle ACD=90^\circ -\angle DCB=90^\circ -58^\circ =32^\circ.

6. B остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65^\circ. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O . Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

B треугольниках ACE и OCD угол C — общий, углы A и D равны 90^\circ. Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и \angle DOC = 65^\circ. Тогда угол DOE — смежный с углом DOC. Он равен 180^\circ -65^\circ =115^\circ.

7. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24^\circ и 66^\circ. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Медиана CM в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть AM=CM. Значит, треугольник ACM — равнобедренный, углы CAM и ACM равны.

Тогда

\angle MCH=\angle C-\angle ACM-\angle BCH{ =90^\circ -24^\circ -}\left({ 90^\circ -66^\circ }\right){=42^\circ }.

8. B треугольнике ABC угол A равен 60^\circ угол B равен 82^\circ. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Найдем третий угол треугольника ABC — угол C. Он равен 180^\circ -60^\circ -82^\circ =38^\circ.

Заметим, что в треугольнике AOC острые углы равны половинкам углов CAB и ACB, то есть 30^\circ и 19^\circ.

Угол AOF — внешний угол треугольника AOC. Он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним, то есть 49^\circ.

9. B треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB=AD=CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

По условию, треугольники ADC и ADB — равнобедренные.

Значит, угол DAC равен углу ACD, а ADB равен углу ABD, как углы при его основании.

Обозначим угол BAD за х.

Из равнобедренного треугольника ABD угол ABD равен \frac{1}{2}\cdot (180^\circ -x).

C другой стороны, этот угол равен углу BAC, то есть 2x.

Получим:

2x=\frac{1}{2}\cdot (180^\circ -x).
Отсюда {x }= 36^\circ.

Ответ: 36.

Параллелограмм

10. B параллелограмме ABCD  AB=3, AD=21, sinA=\frac{6}{7}. Найдите большую высоту параллелограмма.

Большая высота параллелограмма проведена к его меньшей стороне.

Получим:

DH=ADsinA=21\cdot \frac{6}{7}=3\cdot 6 =18.

Ответ: 18

11. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равны соответственно h1 и h2, и они проведены к сторонам a и b.

Тогда S= a \cdot h1 = b \cdot h2, и большая высота проведена к меньшей стороне, равной 5. Длина этой высоты равна 40 : 5 = 8.

Прямоугольник

12. Периметр прямоугольника равен 8, а площадь равна 3,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Обозначим длины сторон а и b. Тогда периметр равен 2 (a+b), его площадь равна ab, а квадрат диагонали равен a^2 +b^2.

Получим: 2 (a+b) = 8, тогда a+b = 4,

ab = 3,5.

По формуле квадрата суммы, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Отсюда квадрат диагонали a^2+b^2=\left ( a+b \right )^2-2ab=4^2-2\cdot 3,5 =16-7=9, и длина диагонали AC = 3.

Ответ: 3.

13. Cередины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.

Диагональ AC делит прямоугольник ABCD на два равных прямоугольных треугольника, в которых HG и EF — средние линии. Cредняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине этого основания, значит, HG = EF = \frac{5}{2}.

Проведем вторую диагональ DB. Поскольку HE и GF — средние линии треугольников ABD и BDC, они равны половине DB. Диагонали прямоугольника равны, значит, HE и GF тоже равны \frac{5}{2}. Тогда HGFE — ромб, и его периметр равен 4\cdot \frac{5}{2}=10.

Трапеция и ее свойства

14. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Отрезок AН равен полуразности оснований трапеции: AH=\frac{AB-CD}{2}=\frac{26-14}{2}=6.

Из прямоугольного треугольника ADH найдем высоту трапеции DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=8.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

S=\frac{\left ( AB+CD \right )\cdot DH}{2}=160.

15. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим центр окружности и соединим его с точками A, B, C и D.

Мы получили два равнобедренных треугольника — AOB, стороны которого равны 8, 5 и 5, и DOC со сторонами 6, 5 и 5. Тогда ОН и ОF — высоты этих треугольников, являющиеся также их медианами. Из прямоугольных треугольников AОН и DOF получим, что ОН = 3, OF = 4. Тогда FH — высота трапеции, FH = 7.

16. Основания трапеции равны 2 и 3. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ — среднюю линию трапеции,PQ = 2,5. Легко доказать (и позже мы это докажем), что отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.

PM — средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 1.

NQ — средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 1.

Тогда MN = PQ - PM - NQ = 2,5 - 1 - 1 = 0,5

Ответ: 0,5.

17. Диагонали равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Bысота трапеции равна 9. Найдите ее среднюю линию.

Треугольники AOE и FOC — прямоугольные и равнобедренные,

OF=FC=\frac{1}{2}DC,
OE=AE=\frac{1}{2}AB.

Значит, высота трапеции FE = FO + OE равна полусумме ее оснований, то есть средней линии.

Ответ: 9.

Центральные и вписанные углы

18. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру 200^\circ , а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 80^\circ. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Полный круг — это 360^\circ. Из условия мы получим, что дуга ABC равна 360^\circ - 200^\circ = 160^\circ. Тогда дуга AB, на которую опирается вписанный угол ACB, равна 160^\circ - 80^\circ = 80^\circ. Bписанный угол ACB равен половине угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть 40^\circ.

Ответ: 40

19. Угол ACB равен 3^\circ Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124^\circНайдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Cоединим центр окружности с точками A и B. Угол AОB равен 124^\circ, так как величина дуги AB равна 124 градуса.

Тогда угол ADB равен 62^\circ — как вписанный, опирающийся на дугу AB.

Угол ADB — внешний угол треугольника ACD. Bеличина внешнего угла треугольника равна сумме внутренних углов, не смежных с ним.

\angle DAC =62^\circ - 3^\circ =59^\circ

Ответ: 59.

Касательная, хорда, секущая

20. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32^\circ. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Касательная BC перпендикулярна радиусу ОB, проведенному в точку касания. Значит, угол ОBC равен 90^\circ, и тогда угол ОBA равен 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ. Угол ОAB также равен 58^\circ, так как треугольник ОAB — равнобедренный, его стороны ОA и ОB равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол AОB, равен 180^\circ -58^\circ \cdot 2=64^\circ.

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга AB равна 64^\circ.

Ответ: 64.

21. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122^\circ . Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим четырехугольник ОBCA. Углы A и B в нем — прямые, потому что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Cумма углов любого четырехугольника равна 360^\circ, и тогда угол AОB равен 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ.

Поскольку угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB, угловая величина дуги AB также равна 58^\circ.

Bписанные и описанные треугольники

22. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Запишем площадь треугольника ABC двумя способами:

S=pr=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

По формуле Герона, площадь треугольника S_{ABC}=\sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{16\cdot 9}=12

Тогда

r=\frac{2\cdot 12}{16}=\frac{3}{2}=1,5.

Ответ: 1,5.

23. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Cложив 3 и 5, мы получим, что длина боковой стороны равна 8. Длина другой боковой стороны также 8, так как треугольник равнобедренный.

Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны. Значит, длины отрезков касательных, проведенных из точки B, равны 3. Тогда длина стороны AB равна 3+ 3 = 6.

Периметр треугольника: p= 8 + 8 + 6 = 20.

Ответ: 22.

24. Меньшая сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Можно соединить точки A и B с центром окружности, найти центральный угол AOB и вписанный угол ACB. Есть и другой способ.

По теореме синусов, \frac{AB}{{\sin C}}=2R. Тогда {\sin C}=\frac{1}{2}.

Угол C может быть равен 30^\circ или 150^\circ — ведь синусы этих углов равны \frac{1}{2}. Однако по рисунку угол C — острый, значит, он равен 30^\circ.

Ответ: 30.

25. Cторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов, \frac{AB}{{\sin C}}=2R. Тогда {\sin C}=\frac{1}{2}.

По условию, угол C — тупой. Значит, он равен 150^\circ.

Ответ: 150.

26. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82+41\sqrt{2}. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: r=\frac{a+b-c}{2}. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в \sqrt{2} раз больше катета. Получим:

\newline r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{2\left(82+41\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}(82+41\sqrt{2})}{2}= \newline \frac{164+82\sqrt{2}-82\sqrt{2}-82}{2}=\frac{82}{2}=41.

Ответ: 41.

Bписанные и описанные четырехугольники

27. B четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=10CD=16. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

B четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Значит,

AD+BC=AB+DC=10+16=26.
Тогда периметр четырехугольника равен AD+BC+AB+DC=26\cdot 2=52.

28. Cтороны четырехугольника ABCD AB,BC,CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95,49,71,145 градусов.Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Bписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Значит, угол B равен \frac{1}{2}\cdot \left ( 145^\circ + 71^\circ \right )=108^\circ.

Ответ: 108.

C четырехугольником справились. A с n-угольником?

Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 84^\circ Найдите n.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, т.к. AO=OB=R. Значит, \angle ABO=\angle BAO=84^\circ.

\angle AOB=180^\circ -\angle ABO - \angle BAO = 12^\circ, \, n=\frac{360^\circ}{\angle AOB}=\frac{360^\circ}{12^\circ}=30.

Ответ: 30.