Эйнштейн-School
Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

  1. Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
  2. Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Формулы объема и площади поверхности: пирамида призма тетраэдр куб

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Пирамида в кубе

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб 🙂

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Иногда в задаче  надо посчитать площадь поверхности куба или призмы.

Напомним, что площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.

В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в 27 раз.

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.

Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Тригонометрический круг
  1. Вот что мы видим на этом рисунке:Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит 360 градусов, или 2 \pi радиан.
  2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси X, а значение синуса — на оси Y.
  3. И синус, и косинус принимают значения от -1 до 1.
  4. Значение тангенса угла \alpha тоже легко найти — поделив \sin \alpha на \cos \alpha. А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  5. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  6. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  7. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен 2 \pi.

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями OX и OY , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси OX против часовой стрелки.

Полный круг — 360 градусов.

Точка с координатами \left( 1;0 \right) соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами \left( -1;0 \right) отвечает углу в 180^{\circ}, точка с координатами \left( 0;1 \right) — углу в 90^{\circ}. Каждому углу от нуля до 360 градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу \alpha.

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси OY) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу \alpha.

Например:

cos\mkern 2mu 60^{\circ}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2};

cos\mkern 2mu 0^{\circ}=1;

sin\mkern 2mu 45^{\circ}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2};

sin\mkern 2mu 240^{\circ}=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса \left( x \right), синус — ордината \left( y \right). Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от -1 до 1:

-1\leqslant cos\mkern 2mu\alpha \leqslant 1,

-1\leqslant sin\mkern 2mu\alpha \leqslant 1.

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

cos^2\mkern 2mu\alpha+sin^2\mkern 2mu\alpha=1

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу \alpha, смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по x (это косинус угла \alpha) и по y (это синус угла \alpha).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов, то есть полный круг, соответствует 2 \pi радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол -30^{\circ} — это угол величиной в 30^{\circ}, который отложили от положительного направления оси x по часовой стрелке.

Легко заметить, что

cos\mkern 2mu\left( -\alpha \right)=cos\mkern 2mu\alpha,

sin\mkern 2mu\left( -\alpha \right)=-sin\mkern 2mu\alpha.

Углы могут быть и больше 360 градусов. Например, угол 732^{\circ} — это два полных оборота по часовой стрелке и еще 12^{\circ}. Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по x и по y, значения синуса и косинуса повторяются через 360^{\circ}. То есть:

cos\mkern 2mu\left( \alpha +360^{\circ}\cdot n \right)=cos\mkern 2mu\alpha,

sin\mkern 2mu\left( \alpha +360^{\circ}\cdot n \right)=sin\mkern 2mu\alpha,

где n — целое число. То же самое можно записать в радианах:

cos\mkern 2mu\left( \alpha +2\pi n \right)=cos\mkern 2mu\alpha,

sin\mkern 2mu\left( \alpha +2\pi n \right)=sin\mkern 2mu\alpha.

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

tg\mkern 2mu\alpha=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle sin\mkern 2mu\alpha}{\displaystyle cos\mkern 2mu\alpha},

ctg\mkern 2mu\alpha=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle cos\mkern 2mu\alpha}{\displaystyle sin\mkern 2mu\alpha}.

В результате получим следующую таблицу.

\varphi0\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2 \pi}{\displaystyle 3}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3 \pi}{\displaystyle 4}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5 \pi}{\displaystyle 6}\pi
tg\mkern 2mu\varphi0\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}1\sqrt{3}не существует-\sqrt{3} -1-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}} 0
ctg\mkern 2mu\varphiне существует\sqrt{3}1\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}0-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}} -1-\sqrt{3}не существует
Числовые множества

ЕГЭ по математике — экзамен чисто практический. Однако знания о том, какие бывают числа, необходимы при решении многих задач.

Первые числа, которыми люди начали пользоваться в доисторические ещё времена — это натуральные числа, то есть целые и положительные: 1, 2, 3, . . .

Натуральные числа — это числа, применяемые для счёта предметов. Натуральные числа можно использовать в качестве номеров.

Наименьшее натуральное число — единица¹. Числа 21, 249, 30988 являются натуральными. Все вместе они составляют множество натуральных чисел, обозначаемое буквой N:

N = {1, 2, 3, . . .}.

Что же такое множество? Это одно из первичных понятий математики, т. е. таких, которые лежат в основе логической системы и уже не определяются через другие понятия. Интуитивно мы понимаем, что множество — это набор или совокупность элементов, объединенных каким-либо общим признаком.

Множества обычно обозначаются заглавными буквами. Множество натуральных чисел мы можем условно изобразить вот так:

Но числа бывают не только натуральными. Индийцы изобрели число ноль и отрицательные числа. Теперь они для нас привычны, но когда-то европейцы — древние греки и римляне — долгое время обходились без нуля. Сейчас нам трудно это представить.

Натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль вместе составляют множество целых чисел, которое обозначается Z :

Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .}

Например, получая в тригонометрическом уравнении серию решений, мы пишем: n ∈ Z, и это означает, что n — целое число.

Очевидно, множество целых чисел включает в себя множество натуральных:

Кроме целых чисел, однако, имеются ещё и дроби.

Напомним, что дробь — это часть, доля, выражение вида \frac{p}{q} (где p — целое, а q — натуральное). Например, \frac{1}{3} — это «одна часть из трёх», 0,25 — это двадцать пять сотых. Десятичные дроби также можно записать в виде \frac{p}{q}. Например, 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}. А если вы вдруг забыли, как десятичную дробь перевести в обыкновенную, как складывать и умножать дроби или как их сокращать — срочно обращайтесь к нам за консультацией! Без этих простейших навыков готовиться к ЕГЭ будет крайне сложно.

Целые числа (положительные и отрицательные) также можно записать в виде \frac{p}{q}. Например, в виде дроби со знаменателем 1:

Стало быть, целые числа — частный случай дробей.

Числа, которые можно записать в виде дроби \frac{p}{q}, называются рациональными. Множество рациональных чисел обозначается Q. Ясно, что оно включает в себя множество целых чисел.

Хорошо, но любое ли число можно записать в виде дроби \frac{p}{q}? Иными словами, все ли числа являются рациональными?

Долгое время — в античности — считалось, что любое число можно записать в виде дроби с числителем и знаменателем. Дело в том, что для древних греков числа и их соотношения были почти священны. Пифагорейцы говорили: «Числа правят миром». Они верили, что все основные принципы мироздания можно выразить языком математики, что соотношения чисел выражают гармонию, закон и порядок природы, перед которым склоняют голову даже олимпийские боги. Греческое искусство, особенно архитектура, подчинялось правилам, канонам. Греки точно установили, какими должны быть пропорции в архитектуре — например, отношение диаметра колонны к её длине — чтобы здание было гармоничным. И все эти пропорции были отношениями целых чисел.

Однако в стройной и гармоничной системе божественных пропорций наметилась досадная брешь. Оказалось, что отношение диагонали квадрата к его стороне не выражается отношением целых чисел! Другими словами, если мы нарисуем квадрат со стороной 1, его диагональ не выражается никакой дробью вида \frac{p}{q}.

По теореме Пифагора диагональ такого квадрата равна \sqrt{2} — то есть положительному числу, квадрат которого равен двум. Можно доказать, что это число не является рациональным. Но сами пифагорейцы не сразу смоги смириться с тем, что \sqrt{2} невозможно записать в виде \frac{p}{q} — ведь это наносило удар всей их философской системе!

Открытие долго держалось в тайне, пока наконец ученик Пифагора Гиппас не разгласил его. За это Гиппас был изгнан из школы Пифагора и вскоре погиб во время кораблекрушения, в чём современники увидели несомненное возмездие богов. А числа, которые невозможно записать в виде \frac{p}{q}, такие, как \sqrt{2}, назвали иррациональными, то есть не-разумными, неправильными.

Но иррациональные числа ничуть не хуже рациональных! Они отнюдь не ограничиваются выражениями вида \sqrt{2} или \sqrt{3}. К ним относятся также:

  • число \pi — отношение длины окружности к её диаметру;
  • число e, названное в честь Эйлера (об этом числе мы ещё расскажем);
  • задающее золотое сечение число φ — удивительное число Фибоначчи, вокруг которого построен весь детективный сюжет фильма «Код да Винчи»;
  • числа вида log_{2}5, sin23^{\circ},...;
  • необозримое количество других чисел.

Ещё раз повторим, в чём разница между рациональными и иррациональными числами.

Рациональное число можно представить в виде дроби \frac{p}{q} — например, \frac{1}{3}, \frac{7}{11}. А если мы просто поделим в столбик 7 на 11, мы обнаружим интересную закономерность:

7 : 11 = 0,636363636363…

Мы видим, что цифры повторяются, то есть дробь является периодической. Таким образом, любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечной или бесконечной периодической.

А вот в числе \pi= 3,1415926... цифры не заканчиваются, и никакой периодичности их следования не наблюдается. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби.

Вместе оба множества — рациональных и иррациональных чисел — образуют множество действительных (или вещественных) чисел, которое обозначается R (от слова real).

Возникает вопрос: это всё? Все ли числа, какие только могут быть, содержатся в множестве действительных чисел? Или за его пределами ещё что-то есть?

Для успешной сдачи ЕГЭ других чисел не нужно. Да и, казалось бы, мы назвали все возможные числа. Но вот какой парадокс: положительные и отрицательные числа симметрично расположены на числовой прямой, верно? И при этом из положительных чисел можно извлечь квадратный корень, а из отрицательных — нельзя! Не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат даёт −1.

Оказывается, однако, что существует числовое множество, содержащее в себе множество R и бесконечное множество других чисел, не являющихся действительными. В этом множестве находится мнимая единица i, для которой верно i² = −1. И называется оно множеством комплексных чисел.

Комплексные числа служат естественным языком описания многих физических явлений. Те из вас, кто выбрал инженерную специальность (в особенности связанную с распространением волн, электротехникой и радиофизикой), непременно встретятся с ними. В отличие от действительных («вещественных») чисел, применяемых для описания материального, плотного мира «вещей», комплексные числа оказываются удобным инструментом для построения математических моделей волн и колебаний всевозможной природы.

Ну а будущим физикам наверняка интересно будет узнать, что элементарные частицы живут и взаимодействуют по законам именно комплексных чисел. Наукой, описывающей комплексный микромир, является квантовая физика.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Развёрнутый, прямой, острый и тупой углы

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается a.

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой \alpha.

Гипотенуза и катеты

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет a, лежащий напротив угла \alpha, называется противолежащим (по отношению к углу \alpha). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла \alpha, называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\sin A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\cos A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle b}{\displaystyle c}

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b}

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sin A}{\displaystyle \cos A}

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \cos A}{\displaystyle \sin A}

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Синус, косинус, тангенс и котангенс

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна 180^{\circ}. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 90^{\circ}.
  2. С одной стороны, \sin A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c} как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, \cos B =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}, поскольку для угла \beta катет а будет прилежащим.Получаем, что \cos \beta =\sin \alpha. Иными словами, \cos \left( 90^{\circ}-A \right) = \sin A.
  3. Возьмем теорему Пифагора: a^2+b^2=c^2. Поделим обе части на \cos^2 A:\sin^2 A +\cos^2 A=1 Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на \cos^2 A, получим: 1+tg ^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos ^2 A } Это значит, что если нам дан тангенс острого угла \alpha, то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,
    1+ctg ^2 A =\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sin ^2 A }

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: a^2+b^2=c^2.

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 0^{\circ} до 90^{\circ}.

\varphi0\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}
sin\mkern 2mu\varphi0\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}1
cos\mkern 2mu\varphi1\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}0
tg\mkern 2mu\varphi0\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}1\sqrt{3}
ctg\mkern 2mu\varphi\sqrt{3}1\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}0

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике ABC угол C равен 90^{\circ}, \sin A = 0,1. Найдите \cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку A+B = 90^{\circ}, \sin A = \cos B = 0,1.

2. В треугольнике ABC угол C равен 90^{\circ}, AB=5, \sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}. Найдите AC.

Имеем:

\sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle AB} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}

Отсюда

BC= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25} \cdot AB = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}

Найдем AC по теореме Пифагора.

AC=\sqrt{AB^2-BC^2} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 24}{\displaystyle 5} = 4,8

Задача решена.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами 90^{\circ},\, 30^{\circ} и 60^{\circ} или с углами 90^{\circ},\, 45^{\circ} и 45^{\circ}. Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Прямоугольные треугольники с углами 30, 60, 90 и 45, 45, 90 градусов

Для треугольника с углами 90^{\circ},\, 30^{\circ} и 60^{\circ} катет, лежащий напротив угла в 30^{\circ}, равен половине гипотенузы.Треугольник с углами 90^{\circ},\, 45^{\circ} и 45^{\circ} — равнобедренный. В нем гипотенуза в \sqrt{2} раз больше катета.

Геометрия на ЕГЭ по математике

Геометрия на профильном ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю.

Геометрия на профильном ЕГЭ — это три в части 1 (сюда входит и планиметрия, и стереометрия), а также задача 14 (стереометрия) и для многих недосягаемая  16 (геометрия) из второй части. Как же научиться их решать?

Для решения задач по геометрии из части 2 нужна более серьезная подготовка.

Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за 7-9 класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян). Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Программа по геометрии.

1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).

2. Построение треугольника: практические задания.

а) Три стороны треугольника ABC равны 4,6 и 8 сантиметров соответственно. Постройте треугольник ABC с помощью циркуля и линейки.

б) В треугольнике ABC угол B равен 48 градусов, сторона AB равна двум, BC равна 9. Постройте треугольник ABC.

в) В треугольнике ABC сторона BC равна 5, угол B равен 26^{\circ}, угол C равен 58^{\circ}. Постройте треугольник ABC.

3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.

4. Постройте с помощью циркуля и линейки:

а) серединный перпендикуляр к отрезку;

б) биссектрису угла.

5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.

6. Теорема о сумме углов треугольника.

7. Внешний угол треугольника.

8. Постройте в одном и том же треугольнике

а) три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника.

б) три биссектрисы.

в) три медианы.

9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.

10. Средняя линия треугольника и ее свойства.

11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

12. Определения синуса, косинуса и тангенса

— для острого угла прямоугольного треугольника

— для произвольного угла.

13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.

14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.

15. Виды параллелограммов и их свойства. (ромб, прямоугольник, квадрат).

16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.

17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.

18. Площадь треугольника. Формулы  S=\frac{1}{2}ah  и  S=\frac{1}{2}ab\sin C.

19. Теоремы синусов и косинусов.

20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.

21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)

22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)

23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.

24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.

25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.

26. Теоремы о вписанных углах.

27. Теорема о пересекающихся хордах.

28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.

29. Теорема о секущей и касательной.

30. Дан треугольник ABC. Постройте

а) окружность, вписанную в данный треугольник

б) окружность, описанную вокруг данного треугольника.

Где находятся центры этих окружностей?

31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).

32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?

Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь. Простые задачи из части 1, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные задачи из части 2 профильного ЕГЭ.

Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 1

а) Решите уравнение \displaystyle (x^2+2x-2)(log_3(x^2-5)+log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{5}-x))=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3,5; -2,8].

Решение:

а) Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Таким образом, уравнение равносильно системе:

Корни уравнения x^2+2x-2=0 — это x=\sqrt{3}-1 или x=\sqrt{3}-1

Получим:

Левую часть уравнения log_3(x^2-5)-log_3(\sqrt{5}-x)=0 упростим по формуле разности логарифмов:

\displaystyle log_a b - log_a c = log_ a \frac{b}{c}. Получим:

\displaystyle log_3(x^2-5)-log_3(\sqrt{5}-x)=log_3 \frac{x^2-5}{\sqrt{5}-x}=log_3(-x-\sqrt{5})

Так как x-\sqrt{5} \, \textless \, 0, выражение (x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}) положительно, только если x+\sqrt{5} \, \textless \,0.

Значит, -x-\sqrt{5}\, \textgreater \, 0.

Система примет вид:

Поскольку x=\sqrt{3}-1 положительные числа, для него не выполняются условия x \, \textless \, -\sqrt{5}.

Если x=-\sqrt{5}-1, получим: -\sqrt{5}-1 \, \textless \, -\sqrt{5}.

Сравним -\sqrt{3}-1 и -\sqrt{5}.

-\sqrt{3}-1 \vee -\sqrt{5}
\sqrt{5}- \sqrt{3} \vee 1
(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 \vee 1
5 - 2 \sqrt{15}+3 \vee 1
7 \vee 2\sqrt{15}
49 \vee 4 \cdot 15;

49 \, \textless \, 60, значит, -\sqrt{3} - 1 \, \textless \, -\sqrt{5}.

Уравнение имеет 2 корня:

x = -\sqrt{3}-1 или x=-\sqrt{5}-1.

б) Найдём корни на отрезке x \in [-3,5; -2,8].

1) Для корня x_1 = -\sqrt{3}-1 проверим выполнение неравенства -3,8 \, \textless \, -\sqrt{3}-1 \, \textless \, -2,8

-4,8\, \textless \, \-\sqrt{3}\, \textless \, -1,8
1,8\, \textless \, \sqrt{3}\, \textless \, 4,8

неравенство не выполняется, так как 1,8^2=3,24\, \textgreater \, 3.

Значит, x-1 = -\sqrt{3}-1 не лежит на указанном отрезке.

2) Для корня x_2 = -\sqrt{5}-1 проверим выполнение неравенства:

-3,8\, \textless \, -\sqrt{5}-1\, \textless \, -2,8
-4,8-\sqrt{5}\, \textless \, -1,8
1,8\, \textless \, \sqrt{5}\, \textless \, 4,8

3,24\, \textless \, 5\, \textless \, 23,04 — верно.

Ответ: а) -1-\sqrt{5}; -1-\sqrt{3}

б) -1-\sqrt{5}.

В этом уравнении главное – не забыть об ОДЗ логарифмической функции. Дополнительная сложность: сравнение десятичных дробей и иррациональных чисел в пункте (б).